সৃজনশীলঃ ‘a=cot⁡θ এবং b=cosecθ…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, 

$a=\cot \theta$ এবং $b=\mathrm{cosec}\theta$ এবং $a+b=x$

বা, $\cot \theta +\mathrm{cosec}\theta =x$

বা, $\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+\frac{1}{\sin \theta }=x[\because \cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$ এবং $\mathrm{cosec}\theta =\frac{1}{\sin \theta }]$

বা, $\frac{\cos \theta +1}{\sin \theta }=x$

বা, $\frac{(\cos \theta +1{)}^2}{{\sin }^2\theta }=x^2$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{(1+\cos \theta {)}^2}{1-{\cos }^2\theta }=x^2[\because {\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta ]$

বা, $\frac{(1+\cos \theta )(1+\cos \theta )}{(1+\cos \theta )(1-\cos \theta )}=x^2$

বা, $\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }=x^2$

বা, $\frac{1+\cos \theta +1-\cos \theta }{1+\cos \theta -1+\cos \theta }=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{2}{2\cos \theta }=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta }=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

$\therefore \sec \theta =\frac{x^2+1}{x^2-1}[\because \frac{1}{\cos \theta }=\sec \theta ]$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $a=\cot \theta$ এবং $b=\mathrm{cosec}\theta$

এবং $3(a^2+b^2)=5$

বা, $3({\cot }^2\theta +{\mathrm{cosec}}^2\theta )=5$

বা, $3({\mathrm{cosec}}^2\theta -1+{\mathrm{cosec}}^2\theta )=5[\because {\cot }^2\theta ={\mathrm{cosec}}^2\theta -1]$

বা, $3(2{\mathrm{cosec}}^2\theta -1)=5$

বা, $6{\mathrm{cosec}}^2\theta -3=5$

বা, $6{\mathrm{cosec}}^2\theta =5+3$

বা, $6{\mathrm{cosec}}^2\theta =8$

বা, ${\mathrm{cosec}}^2\theta =\frac{8}{6}$

বা, $\frac{1}{{\sin }^2\theta }=\frac{4}{3}[\because \mathrm{cosec}\theta =\frac{1}{\sin \theta }]$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{3}{4}$

$\therefore \sin \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

এখন, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ হলে, ১ম চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{\pi }{3}$

২য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (\pi -\frac{\pi }{3})=\sin \frac{2\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{2\pi }{3}$

আবার, $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ হলে,

৩য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (\pi +\frac{\pi }{3})=\sin \frac{4\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{4\pi }{3}$

৪র্থ চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{3})=\sin \frac{5\pi }{3}$

$\therefore \theta =\frac{5\pi }{3}$

নির্ণেয় মান : $\theta =\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$.