সৃজনশীলঃ ‘(i) r2+83=523+5−23(ii) a=5+logx⁡(yz),b=7+logy⁡(zx),c=9+logz⁡(xy).…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $r^2+\sqrt[3]{8}=5^{\frac{2}{3}}+5^{-\frac{2}{3}}$

বা, $r^2+2=5^{\frac{2}{3}}+5^{-\frac{2}{3}}[\sqrt[3]{8}=2]$

বা, $r^2=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{-2}{3}}-2$

বা, $r^2={\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^2-{2.5}^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{-1}{3}}+{\left(5^{\frac{-1}{3}}\right)}^2$

বা, $r^2={(5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}})}^2$

বা, $r=5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}}$ [বর্গমূল করে, $r\ge 0$ ]

বা, $r^3={(5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}})}^3$ [ঘন করে পাই]

বা, $r^3={\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^3-{\left(5^{\frac{-1}{3}}\right)}^3$

$-{3.5}^{\frac{1}{3}}\cdot 5^{\frac{-1}{3}}(5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}})$

বা, $r^3=5^1-5^{-1}-{3.5}^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}$ (r) $[\because r=5^{\frac{1}{3}}-5^{\frac{-1}{3}}]$

বা, $r^3=5-\frac{1}{5}-3r$ বা, $r^3=\frac{25-1-15r}{5}$

বা, $5r^3=24-15r$

$\therefore 5r^3+15r-24=0$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $a=5+{\log }_x\left(\mathrm{yz}\right),b=7+{\log }_y\left(2x\right),$

$c=9+{\log }_z\left(\mathrm{xy}\right)$

বামপক্ষ $=(a-4{)}^{-1}+(b-6{)}^{-1}+(c-8{)}^{-1}$

$=\frac{1}{a-4}+\frac{1}{b-6}+\frac{1}{c-8}$

$=\frac{1}{5+{\log }_x\left(\mathrm{yz}\right)-4}+\frac{1}{7+{\log }_y\left(\mathrm{zx}\right)-6}+\frac{1}{9+{\log }_z\left(\mathrm{xy}\right)-8}$

$=\frac{1}{{\log }_x\left(\mathrm{yz}\right)+1}+\frac{1}{{\log }_y\left(\mathrm{zx}\right)+1}+\frac{1}{{\log }_z\left(\mathrm{xy}\right)+1}$

$=\frac{1}{{\log }_x\left(\mathrm{yz}\right)+{\log }_{x}x}+\frac{1}{{\log }_y\left(\mathrm{zx}\right)+{\log }_{y}y}+\frac{1}{{\log }_z\left(\mathrm{xy}\right)+{\log }_{z}z}$

$=\frac{1}{{\log }_x\mathrm{xyz}}+\frac{1}{{\log }_y\mathrm{xyz}}+\frac{1}{{\log }_z\mathrm{xyz}}$

$={\log }_{\mathrm{xyz}}x+{\log }_{\mathrm{xyz}}y+{\log }_{\mathrm{xyz}}z[\therefore {\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}]$

$={\log }_{\mathrm{xyz}}\mathrm{xyz}$

= 1 = ডানপক্ষ

$\therefore (a-4{)}^{-1}+(b-6{)}^{-1}+(c-8{)}^{-1}=1$ (প্রমাণিত)