সৃজনশীলঃ ‘p2+2=493+1493;p≥0 এবং f(x)=ln⁡6+x6−x…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $p^2+2=\sqrt[3]{49}+\frac{1}{\sqrt[3]{49}}$

বা, $p^2+2=\sqrt[3]{7^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$

বা, $p^2+2=7^{\frac{2}{3}}+7^{-\frac{2}{3}}$

বা, $p^2={\left(7^{\frac{1}{3}}\right)}^2-2\cdot 7^{\frac{1}{3}}\cdot 7^{-\frac{1}{3}}+{\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)}^2$

বা, $p^2={(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}})}^2$

বা, $p=7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $p^3={(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}})}^3$ [ঘন করে]

বা, $p^3={\left(7^{\frac{1}{3}}\right)}^3-{\left(7^{-\frac{1}{3}}\right)}^3-3\cdot 7^{\frac{1}{3}}\cdot 7^{-\frac{1}{3}}(7^{\frac{1}{3}}-7^{-\frac{1}{3}})$

বা, $p^3=7-7^{-1}-3.p$

বা, $p^3=7-\frac{1}{7}-3p$

বা, $p^3=\frac{49-1-21p}{7}$

বা, $7p^3=48-21p$

$\therefore 7p^3+21p=48$ (প্রমাণিত)

ধরি, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{6+x}{6-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়

$\therefore \frac{6+x}{6-x}>0$ যদি (i) $6+x>0$ এবং $6-x>0$ হয়

অথবা, (ii) $6+x<0$ এবং $6-x<0$ হয়,

(i) নং হতে পাই,

$x>-6$ এবং $-x>-6$

বা, $x>-6$ এবং $x<6$

∴ ডোমেন $=\{x:-6<x\}\cap \{x:x<6\}$

$=(-6,\infty )\cap (-\infty ,6)$

(ii) নং হতে পাই,

$x<-6$ এবং $-x<-6$

বা, $x<-6$ এবং $x>6$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-6\}\cap \{x:x>6\}=\varnothing$

∴ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_f=$ (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-6,6)\cup \varnothing$

$=(-6,6)$

রেঞ্জ : $y=f\left(x\right)=\ln \frac{6+x}{6-x}$

বা, $e^y=\frac{6+x}{6-x}$

বা, $6+x=6e^y-{\mathrm{xe}}^y$

বা, $x(1+e^y)=6(e^y-1)$

বা, $x=\frac{6(e^y-1)}{e^y+1}$

$y$-এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

∴ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=R$

∴ নির্ণেয় ডোমেন $D_f=(-6,6)$ এবং রেঞ্জ $R_f=R$ (Ans.)