সৃজনশীলঃ ‘…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $p=a^2+2$

বা, $a^2+2=3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{-2}{3}}$ [উদ্দীপক হতে]

বা, $a^2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2+{\left(3^{-\frac{1}{3}}\right)}_{-2}^2$

বা, $a^2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2+{\left(3^{-\frac{1}{3}}\right)}^2-2\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}$

বা, $a^2={(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})}^2$

বা, $a=3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{2}{3}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $a^3={(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})}^3$ [ঘন করে]

বা, $a^3={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^3-{\left(3^{-\frac{1}{3}}\right)}^3$$-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{-\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})$

বা, $a^3=3-3^{-1}-{3.3}^0.a$

বা, $a^3=3-\frac{1}{3}-3a$

বা, $a^3=\frac{9-1-9a}{3}$

বা, $3a^3=8-9a$

$\therefore a^3+3a=\frac{8}{3}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $a^2+b^2=18ab$

বা, $a^2-2ab+b^2=16ab$

বা, $(a-b{)}^2=(4\sqrt{ab}{)}^2$

বা, ${\left(\frac{a-b}{4}\right)}^2=(\sqrt{ab}{)}^2$

বা, $\frac{a-b}{4}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$

বা, ${\log }_k\left(\frac{a-b}{4}\right)={\log }_k(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b})$ [উভয়পক্ষে ${\log }_k$ নিয়ে]

$\therefore {\log }_k\left(\frac{a-b}{4}\right)={\log }_k\sqrt{a}+{\log }_k\sqrt{b}$ (প্রমাণিত)