সৃজনশীলঃ ‘P2+Q2=51PQ এবং A=m+5−323−313…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P^2+Q^2=51\mathrm{PQ}$

বা, $P^2+Q^2-2PQ=51PQ-2PQ$

বা, $(P-Q{)}^2=49PQ$

বা, $\frac{(P-Q{)}^2}{49}=PQ$

বা, ${\left(\frac{P-Q}{7}\right)}^2=PQ$

বা, $\frac{P-Q}{7}=\sqrt{PQ}$ [বর্গমূল করে]

বা, $\log \left(\frac{P-Q}{7}\right)=\log \left(\sqrt{\mathrm{PQ}}\right)$ [উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে]

বা, $\log \left(\frac{P-Q}{7}\right)=\log (\sqrt{P}\cdot \sqrt{Q})$

$\therefore \log \left(\frac{P-Q}{7}\right)=\log \sqrt{P}+\log \sqrt{Q}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $A=m+5-3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}$

$A=0$ হলে, $m+5-3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}=0$

বা, $m+5=3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{3}}$.......(1)

বা, $(m+5{)}^3={(3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{3}})}^3$ [উভয়পক্ষে ঘন করে]

বা, $m^3+3\cdot m^2\cdot 5+3\cdot m\cdot 5^2+5^3={\left(3^{\frac{2}{3}}\right)}^3+{\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^3+3\cdot 3^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{3}})$

বা, $m^3+15m^2+75m+125=3^2+3^1+3\cdot 3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\cdot (m+5)$ [(1) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, $m^3+15m^2+75m+125=9+3+3\cdot 3^{\frac{3}{3}}(m+5)$

বা, $m^3+15m^2+75m+125=12+3.3(m+5)$

বা, $m^3+15m^2+75m+125-12-9m-45=0$

$\therefore m^3+15m^2+66m+68=0$. (প্রমাণিত)