সৃজনশীলঃ ‘P=523+513 এবং Q=logk⁡(7+x)logk⁡x…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $Q=\frac{{\log }_k(7+x)}{{\log }_{k}x}$

$Q=2$ হলে, $\frac{{\log }_k(7+x)}{{\log }_{k}x}=2$

বা, ${\log }_k(7+x)=2{\log }_{k}x={\log }_k{x}^2$

বা, $7+x=x^2$

বা, $x^2-x-7=0$

বা, $x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-7)}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm \sqrt{1+28}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{29}}{2}$

$\therefore x=\frac{1+\sqrt{29}}{2},\frac{1-\sqrt{29}}{2}$

কিন্তু $x\ne \frac{1-\sqrt{29}}{2}$ [কারণ $x$ এর মান ঋণাত্মক হলে ${\log }_{k}x$ অসংজ্ঞায়িত হয়]

সুতরাং, $x=\frac{1+\sqrt{29}}{2}$

বা, $2x=1+\sqrt{29}$

$\therefore 2x-1=\sqrt{29}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $P=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}$

$P=x-2$ হলে, $x-2=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}$

বা, $(x-2{)}^3={(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}})}^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, $x^3-3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2-2^3={\left(5^{\frac{2}{3}}\right)}^3+{\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^3+3\cdot 5^{\frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}})$

বা, $x^3-6x^2+12x-8=5^2+5+3\cdot 5^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\cdot (x-2)$$[\because 5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}=x-2]$

বা, $x^3-6x^2+12x-8=25+5+3\cdot 5^{\frac{3}{3}}\cdot (x-2)$

বা, $x^3-6x^2+12x-8=30+3\cdot 5(x-2)$

বা, $x^3-6x^2+12x-8=30+15x-30$

বা, $x^3-6x^2+12x-8-15x=0$

$\therefore x^3-6x^2-3x-8=0$. (প্রমাণিত)