সৃজনশীলঃ ‘(i) F(x)=logk⁡(5x+3)logk⁡x.(ii) (2x+1)−1+(2x+1)−2+(2x+1)−3+…………’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) $F (x) = \frac{\log_{k} (5 x + 3)}{\log_{k} x}$ .
(ii) $(2 x + 1)^{- 1} + (2 x + 1)^{- 2} + (2 x + 1)^{- 3} + \dots \dots \dots$

উত্তর:

দেওয়া আছে, $x^{2} = y^{3}$

বা, $x = y^{\frac{3}{2}}$ [বর্গমূল করে]

আবার, $y^{3} = x^{2}$

বা, $y = x^{\frac{2}{3}}$ [ঘনমূল করে].

বামপক্ষ $= {(\frac{x}{y})}^{\frac{3}{2}} + {(\frac{y}{x})}^{\frac{2}{3}}$

$= {(\frac{x}{x^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{3}{2}} + {(\frac{y}{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} [x, y$ এর মান বসিয়ে $]$

$= {(x^{1 - \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} + {(y^{1 - \frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3 - 2}{3}})}^{\frac{3}{2}} + {(y^{\frac{2 - 3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$

$= {(x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + {(y^{- \frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}} + y^{\frac{- 1}{2} \times \frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{3}}$

$=$ ডানপক্ষ

$∴ {(\frac{x}{y})}^{\frac{3}{2}} + {(\frac{y}{x})}^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{3}}$ . (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে,

$F (x) = \frac{\log_{k} (5 x + 3)}{\log_{k} x}$

হলে $F (x) = 2 হলে, \frac{\log_{k} (5 x + 3)}{\log_{k} x} = 2$

বা, $\log_{k} (5 x + 3) = 2 \log_{k} x = \log_{k} x^{2}$

বা, $5 x + 3 = x^{2}$ বা, $x^{2} - 5 x - 3 = 0$

বা, $x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$

$∴ x = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}, \frac{5 - \sqrt{37}}{.2}$

কিন্তু $x \neq \frac{5 - \sqrt{37}}{2}$ [কারণ $x$ এর মান ঋণাত্মক হলে $\log_{k} x$ অসংজ্ঞায়িত হয়]

সুতরাং, $x = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}$

উত্তর:

প্রদত্ত ধারা : $(2 x + 1)^{- 1} + (2 x + 1)^{- 2} + (2 x + 1)^{- 3} +$ $\dots \dots . .$

$= \frac{1}{2 x + 1} + \frac{1}{(2 x + 1)^{2}} + \frac{1}{(2 x + 1)^{3}} + \dots \dots . .$

ধারাটির ১ম পদ, $a = \frac{1}{2 x + 1}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{(2 x + 1)^{2}}}{\frac{1}{2 x + 1}} = \frac{1}{(2 x + 1)^{2}} \times \frac{(2 x + 1)}{1} = \frac{1}{2 x + 1}$

প্রদত্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে

যদি - $1 < r < 1$ হয়

বা, $- 1 < \frac{1}{2 x + 1} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{2 x + 1}$

বা, $2 x + 1 < - 1$

বা, $2 x < - 1 - 1$

বা, $2 x < - 2$

$∴ x < - 1$

এবং $\frac{1}{2 x + 1} < 1$

বা, $2 x + 1 > 1$

বা, $2 x > 1 - 1$

বা, $2 x > 0$

$∴ x > 0$

$∴ x < - 1$ অথবা $x > 0$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$∴$ প্রদত্ত ধারার অসীমতক সমষ্টি,

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(i) F(x)=logk⁡(5x+3)logk⁡x.(ii) (2x+1)−1+(2x+1)−2+(2x+1)−3+…………’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(i) F(x)=logk⁡(5x+3)logk⁡x.(ii) (2x+1)−1+(2x+1)−2+(2x+1)−3+…………’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর