সৃজনশীলঃ ‘(i) 5(4−6x)−1+15(4−6x)−2+45(4−6x)−3+…….. একটি…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) $5 (4 - 6 x)^{- 1} + 15 (4 - 6 x)^{- 2} + 45 (4 - 6 x)^{- 3} +$ $. . . . . . . .$ একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।

(ii) $A = 3 + \log_{p} (qr), B = 6 + \log_{q} (rp)$

এবং $C = 7 + \log_{r} (pq)$

উত্তর:

দেওয়া আছে, $B = 6 + \log_{q} (r p)$

$B = 8$ হলে,

$6 + \log_{q} (r p) = 8$

বা, $\log_{q} (r p) = 8 - 6$

বা, $\log_{q} (r p) = 2$

বা, $rp = q^{2}$

বা, $\frac{rp}{qr} = \frac{q^{2}}{qr}$ [উভয়পক্ষকে qr দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{p}{q} = \frac{q}{r}$

$∴ {pq}^{- 1} = {qr}^{- 1}$ . (দেখানো হলো)

উত্তর:

দেওয়া আছে,

$A = 3 + \log_{p} (qr)$

$B = 6 + \log_{q} (rp)$

এবং $C = 7 + \log_{r} (pq)$

বামপক্ষ $= (A - 2)^{- 1} + (B - 5)^{- 1} + (C - 6)^{- 1}$

$= \frac{1}{A - 2} + \frac{1}{B - 5} + \frac{1}{C - 6}$

$= \frac{1}{3 + \log_{p} (qr) - 2} + \frac{1}{6 + \log_{q} (rp) - 5} + \frac{1}{7 + \log_{r} (pq) - 6}$

$= \frac{1}{1 + \log_{p} qr} + \frac{1}{1 + \log_{q} rp} + \frac{1}{1 + \log_{r} pq}$

$= \frac{1}{\log_{p} p + \log_{p} q r} + \frac{1}{\log_{q} q + \log_{q} r p} + \frac{1}{\log_{r} r + \log_{r} p q} [∵ \log_{a} a = 1]$

$= \frac{1}{\log_{p} p (q r)} + \frac{1}{\log_{q} q (p r)} + \frac{1}{\log_{r} r (p q)}$

$= \frac{1}{\log_{p} p q r} + \frac{1}{\log_{q} p q r} + \frac{1}{\log_{r} p q r}$

$= \log_{p q r} p + \log_{p q r} q + \log_{p q r} r [∵ \log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}]$

$= \log_{p q r} (p \cdot q \cdot r) = \log_{p q r} p q r$

$= 1 =$ ডানপক্ষ

$∴ (A - 2)^{- 1} + (B - 5)^{- 1} + (C - 6)^{- 1} = 1 .$ (দেখানো হলো)

উত্তর:

প্রদত্ত ধারা : $5 (4 - 6 x)^{- 1} + 15 (4 - 6 x)^{- 2} + 45 (4 - 6 x)^{3} + \dots$

$= \frac{5}{4 - 6 x} + \frac{15}{(4 - 6 x)^{2}} + \frac{45}{(4 - 6 x)^{3}} + \dots \dots$

ধারাটির ১ম পদ, $a = \frac{5}{4 - 6 x}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{15}{(4 - 6 x)^{2}}}{\frac{5}{(4 - 6 x)}}$

$= \frac{15}{(4 - 6 x)^{2}} \times \frac{(4 - 6 x)}{5} = \frac{3}{4 - 6 x}$

প্রদত্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $| r | < 1$ হয়।

অর্থাৎ, $- 1 < r < 1$

বা, $- 1 < \frac{3}{4 - 6 x} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{3}{4 - 6 x}$

বা, $- 1 > \frac{4 - 6 x}{3}$ [বিপরীতকরণ করে]

বা, - $3 > 4 - 6 x$

বা, $- 3 - 4 > - 6 x$

বা, $- 7 > - 6 x$

বা, $6 x > 7$

বা, $x > \frac{7}{6}$

আবার, $\frac{3}{4 - 6 x} < 1$

বা, $\frac{4 - 6 x}{3} > 1$ [বিপরীতকরণ করে]

বা, $4 - 6 x > 3$

বা, $- 6 x > 3 - 4$

বা, $- 6 x > - 1$

বা, $6 x < 1$

$∴ x < \frac{1}{6}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{5}{4 - 6 x}}{1 - \frac{3}{4 - 6 x}} = \frac{\frac{5}{4 - 6 x}}{\frac{4 - 6 x - 3}{4 - 6 x}}$

$= \frac{5}{4 - 6 x} \times \frac{4 - 6 x}{1 - 6 x} = \frac{5}{1 - 6 x}$

নির্ণেয় শর্ত : $x > \frac{7}{6}$ অথবা $x < \frac{1}{6}$ এবং সমষ্টি $= \frac{5}{1 - 6 x}$ .

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(i) 5(4−6x)−1+15(4−6x)−2+45(4−6x)−3+…….. একটি…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(i) 5(4−6x)−1+15(4−6x)−2+45(4−6x)−3+…….. একটি…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর