সৃজনশীলঃ ‘f(x)=32x+2 এবং g(x)=27x+1.…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=3^{2x+2}$

এবং $g\left(x\right)={27}^{x+1}$

এখন, $3f\left(x\right)+3g\left(x\right)=108$

বা, $3\left(f\right(x)+g(x\left)\right)=108$

বা, $f\left(x\right)+g\left(x\right)=\frac{108}{3}$

বা, $3^{2x+2}+{27}^{x+1}=36$

বা, $3^{2(x+1)}+3^{3(x+1)}=36$

বা, ${\left(3^{x+1}\right)}^2+{\left(3^{x+1}\right)}^3=36$

বা, $a^3+a^2-36=0[3^{x+1}=a$ ধরে]

বা, $a^3-3a^2+4a^2-12a+12a-36=0$

বা, $a^2(a-3)+4a(a-3)+12(a-3)=0$

বা, $(a-3)(a^2+4a+12)=0$

হয়, $a-3=0$.

বা, $a=3$

বা, $3^{x+1}=3$

বা, $x+1=1$

$\therefore x=0$

অথবা, $a^2+4a+12=0$ যা গ্রহণযোগ্য নয় কারণ a এর কোন বাস্তব মান নেই

নির্ণেয় মান $x=0$.

$h\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{{27}^{x+1}}{3^{2x+2}}=\frac{{\left(3^3\right)}^{x+1}}{3^{2x+2}}=\frac{3^{3x+3}}{3^{2x+2}}=3^{3x+3-2x-2}$

$\therefore h\left(x\right)=3^{x+1}$

ধরি, $y=3^{x+1}$ $.............$ (1)

এখন, লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য $x$ এর বিভিন্ন মানের জন্য ও $y$ এর সংশ্লিষ্ট মানগুলোর তালিকা প্রস্তুত করি :

ছক কাগজে $(x,y)$ এর মানগুলো স্থাপন করলে নিম্নরূপ লেখচিত্র পাওয়া যায়।

$X$-অক্ষে প্রতি 5 ক্ষুদ্র বর্গ ঘর = 1 একক এবং 

$Y$-অক্ষে প্রতি 1 ক্ষুদ্র বর্গ ঘর $=2$ একক ধরে লেখচিত্র আঁকা হয়েছে।

চিত্র থেকে লক্ষ করলে দেখা যায়, $x=-1$ হলে, $y=3^{-1+1}=3^0=1$ অর্থাৎ রেখাটি $(-1,1)$ বিন্দুগামী।

আবার $x$ -এর ঋণাত্মক মানের জন্য $x\to -\infty$ হলে, $y\to 0^{+}$

একইভাবে $x$ -এর ধনাত্মক মানের জন্য $x\to \infty$ হলে, $y\to \infty$

$\therefore$ ডোমেন $\left(D\right)=(-\infty ,\infty )$ এবং রেঞ্জ $\left(R\right)=(0,\infty )$.