সৃজনশীলঃ ‘(i) y=ln⁡3−x3+xএবং (ii)…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $B=x+y+z$

$B=0$ হলে, $x+y+z=0$

বামপক্ষ $=\frac{1}{a^y+a^{-z}+1}+\frac{1}{a^z+a^{-x}+1}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

$=\frac{a^{-y}}{a^y\cdot a^{-y}+a^{-z}\cdot a^{-y}+a^{-y}}+\frac{a^x\cdot a^x+a^{-x}\cdot a^x+a^x}{a^x+a^{-y}+1}$

$=\frac{a^{-y}}{1+a^{-(z+y)}+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^{z+x}+1+a^x}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

$=\frac{a^{-y}}{1+a^x+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^{-y}+1+a^x}+\frac{1}{1+a^x+a^{-y}}[\because x+y+z=0]$

$=\frac{a^{-y}+a^x+1}{1+a^x+a^{-y}}=\frac{1+a^x+a^{-y}}{1+a^x+a^{-y}}=1=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{1}{a^y+a^{-z}+1}+\frac{1}{a^z+a^{-x}+1}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}=1.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $y=\ln \frac{3-x}{3+x}$

লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore y\in R$ হবে যদি $\frac{3-x}{3+x}>0$ হয়।

এখন, $\frac{3-x}{3+x}>0$ হবে যদি

(i) $3-x>0$ এবং $3+x>0$ হয়

(ii) $3-x<0$ এবং $3+x<0$ হয়

(i) নং হতে পাই, $-x>-3$ এবং $x>-3$

বা, $x<3$ বা, $x>-3$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x<3\}\cap \{x\in R:x>-3\}$

$=(-\infty ,3)\cap (-3,\infty )=(-3,3)$

(ii) নং হতে পাই, $3<x$ এবং $3<-x$

বা, $x>3$ বা, $x<-3$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x\in R:x>3\}\cap \{x\in R:x<-3\}$

$=(3,\infty )\cap (-\infty ,-3)=\varnothing$

$\therefore y$ এর ডোমেন, $D_y=\left(i\right)$ ও (ii) থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-3,3)\cup \varnothing =(-3,3)$

আবার, $y=\ln \frac{3-x}{3+x}$

বা, $e^y=\frac{3-x}{3+x}$

বা, $3e^y+{\mathrm{xe}}^y=3-x$

বা, $x{e}^y+x=3-3e^y$

বা, $x(1+e^y)=3(1-e^y)$

$\therefore x=\frac{3(1-e^y)}{1+e^y}$

$y$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয় ।

$\therefore y$-এর রেঞ্জ $=R$

নির্ণেয় ডোমেন $(-3,3)$ এবং রেঞ্জ $=R$.