সৃজনশীলঃ ‘a2+b2=18ab এবং f(x)=ln⁡5+x5−x…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $a^2+b^2=18ab$

বা, $a^2-2ab+b^2=16ab$

বা, $(a-b{)}^2=(4\sqrt{ab}{)}^2$

বা, ${\left(\frac{a-b}{4}\right)}^2=(\sqrt{ab}{)}^2$

বা, $\frac{a-b}{4}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$

বা, ${\log }_k\left(\frac{a-b}{4}\right)={\log }_k(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b})$ [উভয়পক্ষে ${\log }_k$ নিয়ে]

$\therefore {\log }_k\left(\frac{a-b}{4}\right)={\log }_k\sqrt{a}+{\log }_k\sqrt{b}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\ln \frac{5+x}{5-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore \frac{5+x}{5-x}>0$ হবে যদি (i) $5+x>0$ এবং $5-x>0$ হয়

অথবা, (ii) $5+x<0$ এবং $5-x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই,

$x>-5$ এবং $-x>-5$

বা, $x>-5$ এবং $x<5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x>-5\}\cap \{x:x<5\}$

$=(-5,\infty )\cap (-\infty ,5)=(-5,5)$

(ii)নং হতে পাই,

$x<-5$ এবং $-x<-5$

বা, $x<-5$ এবং $x>5$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-5\}\cap \{x:x>5\}=(-\infty ,-5)\cap (5,\infty )=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_f=$ (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-5,5)\cup \varnothing =(-5,5)$

ধরি, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{5+x}{5-x}$

বা, $e^y=\frac{5+x}{5-x}$

বা, $5+x=5e^y-x{e}^y$

বা, $x+x{e}^y=5e^y-5$

বা, $x(1+e^y)=5(e^y-1)$

বা, $x=\frac{5(e^y-1)}{e^y+1}$

$y$-এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=R$

নির্ণেয় ডোমেন $D_f=(-5,5)$ এবং রেঞ্জ $R_f=R$.