সৃজনশীলঃ ‘যদি x=1+loga⁡bc,y=1+logb⁡ca এবং…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বি.দ্র.: p, q, r এর পরিবর্তে যথাক্রমে x, y, z হবে]

দেওয়া আছে,

$p-1={\log }_a\mathrm{bc}$...........(i)

$q-1={\log }_b\mathrm{ca}$..........(ii)

$r-1={\log }_c\mathrm{ab}$..........(iii)

(i)নং হতে পাই,

$p-1={\log }_{a}bc$

বা, $p={\log }_{a}bc+1$

বা, $p={\log }_{a}bc+{\log }_{a}a[\because {\log }_{a}a=1]$

বা, $p={\log }_a\mathrm{abc}$

বা, $a^p=\mathrm{abc}$

$\therefore a=(abc{)}^{\frac{1}{p}}$.........(iv)

অনুরূপভাবে, (ii) ও (iii)নং হতে পাই,

$b=(abc{)}^{\frac{1}{q}}$............(v)

এবং $c=(\mathrm{abc}{)}^{\frac{1}{r}}$..........(vi)

(iv), (v) ও (vi)নং সমীকরণ গুণ করে পাই,

$abc=(abc{)}^{\frac{1}{p}}\cdot (abc{)}^{\frac{1}{q}}\cdot (abc{)}^{\frac{1}{r}}$

বা, $(abc{)}^1=(abc{)}^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$

বা, $1=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$

বা, $1=\frac{qr+rp+pq}{pqr}$

বা, $qr+rp+pq=pqr$

$\therefore pq+qr+rp-pqr=0.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $x=1+{\log }_{a}bc$

$\begin{array}{cc}& y=1+{\log }_{b}ca\\ & z=1+{\log }_{c}ab\end{array}$

এখন, $x-3=1+{\log }_a\mathrm{bc}-3={\log }_a\mathrm{bc}-2$

$\begin{array}{cc}& ={\log }_{a}bc-2{\log }_{a}a\\ & ={\log }_{a}bc-{\log }_a{a}^2={\log }_a\frac{bc}{a^2}\end{array}$

অনুরূপভাবে, $y-3={\log }_b\frac{ca}{b^2},z-3={\log }_c\frac{ab}{c^2}$

বামপক্ষ $=a^{x-3}\cdot b^{y-3}\cdot c^{z-3}$

$=a^{{\log }_a\frac{bc}{a^2}}\cdot b^{{\log }_b\frac{ca}{b^2}}\cdot c^{{\log }_c\frac{ab}{c^2}}$

$=\frac{bc}{a^2}\times \frac{ca}{b^2}\times \frac{ab}{c^2}[a^{{\log }_{a}x}=x]$

$=\frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^2{b}^2{c}^2}=1=51$ ডানপক্ষ

$\therefore a^{x-3}\cdot b^{y-3}\cdot z^{z-3}=1$ (দেখানো হলো)