সৃজনশীলঃ ‘(6y−5)−1+(6y−5)−2+(6y−5)−3+……. একটি অসীম…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩

$(6 y - 5)^{- 1} + (6 y - 5)^{- 2} + (6 y - 5)^{- 3} + \dots \dots$ . একটি অসীম ধারা এবং $B = {(2 x^{2} + \frac{a}{x^{3}})}^{8}$ একটি দ্বিপদী রাশি।

উত্তর:

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

$(1 + 2 x)^{4} = (\frac{4}{0}) (2 x)^{0} + (\frac{4}{1}) (2 x)^{1}$ $+ (\frac{4}{2}) (2 x)^{2} + (\frac{4}{3}) (2 x)^{3} + (\frac{4}{4}) (2 x)^{4}$

$= 1 + \frac{4}{1} 2 x + \frac{4.3}{1.2} \times 4 x^{2}$ $+ \frac{4.3 .2}{1.2 .3} \times 8 x^{3} + \frac{4.3 .2 .1}{1.2 .3 .4} \times 16 x^{4}$

$= 1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 16 x^{4}$

$∴ x^{3}$ এর সহগ 32. (Ans.)

উত্তর:

প্রদত্ত ধারাটি : $(6 y - 5)^{- 1} + (6 y - 5)^{- 2} + (6 y - 5)^{- 3} + \dots \dots$

$= \frac{1}{6 y - 5} + \frac{1}{(6 y - 5)^{2}} + \frac{1}{(6 y - 5)^{3}} + \dots \dots$

ধারাটির ১ম পদ, $a = \frac{1}{6 y - 5}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{(6 y - 5)^{2}} \times \frac{(6 y - 5)}{1} = \frac{1}{6 y - 5}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি, $| r | < 1$ হয়।

অর্থাৎ, $| \frac{1}{6 y - 5} | < 1$ বা, $- 1 < \frac{1}{6 y - 5} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{6 y - 5}$

বা, $6 y - 5 < - 1$

বা, $6 y < - 1 + 5$

বা, $6 y < 4$

বা, $y < \frac{4}{6}$

$∴ y < \frac{2}{3}$

অথবা, $\frac{1}{6 y - 5} < 1$

বা, $6 y - 5 > 1$

বা, $6 y > 1 + 5$

বা, $6 y > 6$

বা, $y > \frac{6}{6}$

$∴ y > 1$

∴ নির্ণেয় শর্ত : $y < \frac{2}{3}$ অথবা $y > 1$

এবং অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{6 y - 5}}{1 - \frac{1}{6 y - 5}}$

$= \frac{\frac{1}{6 y - 5}}{\frac{6 y - 6}{6 y - 5}} = \frac{1}{6 y - 5} \times \frac{6 y - 5}{6 y - 6}$

$= \frac{1}{6 y - 6} . (Ans.)$

উত্তর:

দেওয়া আছে, $B = {(2 x^{2} + \frac{a}{x^{3}})}^{8}$

$=^{8} C_{0} {(2 x^{2})}^{8} \cdot {(\frac{a}{x^{3}})}^{0} +^{8} C_{1} {(2 x^{2})}^{8 - 1}$

$\cdot {(\frac{a}{x^{3}})}^{1} +^{8} C_{2} {(2 x^{2})}^{8 - 2} \cdot {(\frac{a}{x^{3}})}^{2} + \dots \dots$

$= 2^{8} \cdot x^{16} + 8 \cdot 2^{7} \cdot x^{14} \cdot \frac{a}{x^{3}} + 28 \cdot 2^{6} \cdot x^{12} \cdot \frac{a^{2}}{x^{6}} + \dots \dots$

$= 2^{8} \cdot x^{16} + 8 a \cdot 2^{7} \cdot x^{11} + 28 a^{2} \cdot 2^{6} \cdot x^{6} + \dots \dots$

এখানে, $x^{11}$ এর সহগ $= 8 a \times 2^{7}$

$x^{6}$ এর সহগ $= 28 a^{2} \times 2^{6}$

প্রশ্নমতে, $28 a^{2} \times 2^{6} = 8 a \times 2^{7}$

বা, $a = \frac{8 \times 2^{7}}{28 \times 2^{6}}$

বা, $a = \frac{16}{28}$

$∴ a = \frac{4}{7}$

$∴$ নির্ণেয় মান $: \frac{4}{7} (Ans.)$

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(6y−5)−1+(6y−5)−2+(6y−5)−3+……. একটি অসীম…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(6y−5)−1+(6y−5)−2+(6y−5)−3+……. একটি অসীম…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর