সৃজনশীলঃ ‘(i) (k−13x)5=m−135x+nx2+…….(ii) একটি…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) নং উদ্দীপকে দেওয়া আছে, 

${(k-\frac{1}{3}x)}^5=m-135x+n{x}^2+$$........$

${(k-\frac{1}{3}x)}^5$ বা, ${(k-\frac{x}{3})}^5$ এর বিস্তৃতি নিম্নরূপ : 

$k^5+(\frac{5}{1})\cdot k^4\cdot (-\frac{x}{3})+(\frac{5}{2})\cdot k^3\cdot {(-\frac{x}{3})}^2+$$........$ 

শর্তমতে, $m=k^5$$........\left(i\right)$ 

$\frac{5}{3}{k}^4=135$$........\left(ii\right)$ 

এবং $\frac{10}{9}{k}^3=n$$........\left(iii\right)$ 

$\left(ii\right)$ নং সমীকরণ হতে পাই, $\frac{5}{3}{k}^4=135$

বা, $k^4=\frac{135\times 3}{5}$ বা, $k^4=81$

$\therefore k=3$

$\left(i\right)$ নং হতে, $m=k^5=3^5=243$

এবং $\left(iii\right)$নং হতে, $n=\frac{10}{9}\times 3^3\therefore n=30$
নির্ণেয় মান : $k=3,m=243$ এবং $n=30$. 

দেওয়া আছে, একটি গুণোত্তর ধারার তিনটি ক্রমিক পদের সমষ্টি $\frac{21}{2}$ এবং গুণফল $8$।
মনে করি, ১ম পদ = a, এবং সাধারণ অনুপাত = r

 শর্তমতে,$a+ar+a{r}^2=\frac{21}{2}$$....\left(1\right)$

এবং $a\cdot \mathrm{ar}\cdot {\mathrm{ar}}^2=8$

$\therefore a^3{r}^3=8$$....\left(2\right)$

$\left(2\right)$ নং সমীকরণ হতে,

$(\mathrm{ar}{)}^3=(2{)}^3$

বা, $ar=2$

$\therefore a=\frac{2}{r}$$....\left(3\right)$

$\left(1\right)$ নং এ $a=\frac{2}{r}$ বসিয়ে পাই,

$\frac{2}{r}+\frac{2}{r}\times r+\frac{2}{r}\times r^2=\frac{21}{2}$

বা, $\frac{2}{r}+2+2r=\frac{21}{2}$
বা, $\frac{2+2r+2r^2}{r}=\frac{21}{2}$
বা, $4+4r+4r^2=21r$
বা, $4r^2+4r+4-21r=0$
বা, $4r^2-17r+4=0$
বা, $4r^2-16r-r+4=0$
বা, $4r(r-4)-1(r-4)=0$
বা, $(r-r)(4r-1)=0$ 

 বা, $r-4=0$
$\therefore r=4$ 

অথবা, $4r-1=0$

বা,$4r=1$

$\therefore r=\frac{1}{4}$ 

এখন, (3) নং সমীকরণে ৮-এর মান বসিয়ে পাই, 

r =4 হলে 

$\begin{array}{cc}a& =\frac{2}{4}\\ \therefore a& =\frac{1}{2}\end{array}$  

আবার, $r=\frac{1}{4}$ হলে, 

$\begin{array}{cc}a& =\frac{2}{\frac{1}{4}}\\ \therefore a& =2\times 4=8\end{array}$ 

$\therefore a=\frac{1}{2}$ ও $r=4$ এর জন্য ধারাটির তৃতীয় পদ

$={\mathrm{ar}}^2=\frac{1}{2}\times (4{)}^2=\frac{1}{2}\times 16=8$

এবং $a=8$ ও $r=\frac{1}{4}$ এর জন্য ধারাটির তৃতীয় পদ

$=a{r}^2=8\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2=8\times \frac{1}{16}=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম পদ $\frac{1}{2}$ হলে তৃতীয় পদ 8 এবং প্রথম পদ 8 হলে তৃতীয় $\frac{1}{2}$ ।