সৃজনশীলঃ ‘(i) A=(y2+Py2)6 এবং…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A={(y^2+\frac{P}{y^2})}^6$

দ্বিপদী রাশিটির $(r+1)$ তম পদ $={}^6{C}_r\cdot {\left(y^2\right)}^{6-r}\cdot {\left(\frac{P}{y^2}\right)}^r$

$\begin{array}{cc}& ={}^6{C}_r\cdot y^{12-2r}\cdot \frac{P^r}{y^{2r}}\\ & ={}^6{C}_r\cdot P^r\cdot y^{12-2r-2r}={}^6{C}_r\cdot P^r\cdot y^{12-4r}\end{array}$

$y$ মুক্ত পদের জন্য, $12-4r=0$

বা, $4r=12$

$\therefore r=3$

$\therefore y$ মুক্ত পদ $={}^6{C}_3\cdot p^3=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot p^3=20p^3$

শর্তমতে, $20P^3=14580$

বা, $P^3=\frac{14580}{20}=729=9^3$

$\therefore P=9$

নির্ণেয় মান : $p=9$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\ln \frac{7+x}{7-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore \frac{7+x}{7-x}>0$ হবে যদি (1) $7+x>0$ এবং $7-x>0$ হয়

অথবা, (2) $7+x<0$ এবং $7-x<0$ হয়।

(1)নং হতে পাই,

$x>-7$ এবং $-x>-7$

বা, $x>-7$ এবং $x<7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x>-7\}\cap \{x:x<7\}$

$=(-7,\infty )\cap (-\infty ,7)=(-7,7)$

(2)নং হতে পাই,

$x<-7$ এবং $-x<-7$

বা, $x<-7$ এবং $x>7$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-7\}\cap \{x:x>7\}$

$=(-\infty ,-7)\cap (7,\infty )=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_f=\left(1\right)$ ও (2) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-7,7)\cup \varnothing =(-7,7)$

ধরি, $y=f\left(x\right)=\ln \frac{7+x}{7-x}$

বা, $e^y=\frac{7+x}{7-x}$

বা, $7+x=7e^y-{\mathrm{xe}}^y$

বা, $x+x{e}^y=7e^y-7$

বা, $x(1+e^y)=7(e^y-1)$

$\therefore x=\frac{7(e^y-1)}{e^y+1}$

$y-$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ

$R_f=R$ নির্ণেয় ডোমেন (- 7, 7) এবং রেঞ্জ $R$.