সৃজনশীলঃ ‘(i) C=(1−x)6,D=(1+x)7.(ii) (x−1)−1+(x−1)−2+(x−1)−3+…………’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত ধারা : $(x-1{)}^{-1}+(x-1{)}^{-2}+(x-1{)}^{-3}+\dots \dots \dots$

$=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}+\frac{1}{(x-1{)}^3}+\dots \dots \dots ..$

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a=\frac{1}{x-1}$

$\therefore$ সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{(x-1{)}^2}}{\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{(x-1{)}^2}\times \frac{x-1}{1}=\frac{1}{x-1}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r|<1 হয়

অর্থাৎ $-1<r<1$ হয়

বা, $-1<\frac{1}{x-1}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{x-1}$

বা, $x-1<-1$

$\therefore x<0$

আবার, $\frac{1}{x-1}<1$

বা, $x-1>1$

বা, $x>1+1$

$\therefore x>2$

$\therefore x<0$ অথবা $x>2$ হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$\therefore$ অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{\frac{1}{x-1}}{1-\frac{1}{x-1}}=\frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{x-1-1}{x-1}}=\frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{x-2}{x-1}}=\frac{1}{x-1}\times \frac{x-1}{x-2}=\frac{1}{x-2}$

নির্ণেয় শর্ত : $x<0$ অথবা $x>2$ এবং অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{x-2}$.

দেওয়া আছে, $C=(1-x{)}^6$ এবং $D=(1+x{)}^7$

এখন, $\mathrm{CD}=(1-x{)}^6(1+x{)}^7=(1+x{)}^7(1-x{)}^6$

$=(1+x)(1+x{)}^6(1-x{)}^6=(1+x){(1-x^2)}^6$

$=(1+x)[1+{}^6{C}_1(-x^2)+{}^6{C}_2{(-x^2)}^2+{}^6{C}_3{(-x^2)}^3+\dots \dots ..]$

$=(1+x)(1-6x^2+15x^4-20x^6+\dots \dots .)$

$=(1-6x^2+15x^4-20x^6+\dots )+(x-6x^3+15x^5-20x^7+\dots )$

$=1+x-6x^2-6x^3+15x^4+15x^5-20x^6-20x^7+\dots ..$

$\therefore CD$ এর বিস্তৃতিতে $x^5$ এর সহগ 15

নির্ণেয় $x^5$ এর সহগ 15.