সৃজনশীলঃ ‘(i) একটি সমবৃত্তভূমিক…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – ঘন জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা, $h=12$ সে.মি.

এবং আয়তন, $V=100\pi$ ঘন সে.মি.

ধরি, কোণকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন, $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ঘন একক

প্রশ্নমতে, $100\pi =\frac{1}{3}\pi r^2\times 12$

বা, $\frac{100\times 3}{12}=r^2$
বা, $r^2=25$

$\therefore r=5$

∴ কোণকের ব্যাসার্ধ, r=5 সে.মি.

এখন, কোণকের হেলানো উচ্চতা $l$ হলে, $l=\sqrt{r^2+h^2}$ একক

$=\sqrt{5^2+{12}^2}$ সে.মি.
$=\sqrt{25+144}$ সে.মি. 
$=\sqrt{169}$ সে.মি.
$=13$ সে.মি.

∴ কোণকের হেলানো উচ্চতা 13 সে.মি. [Ans.]

দেওয়া আছে, PQRS একটি চতুর্ভুজ এবং PQ, QR, RS ও SP এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C ও D। A ও B, B ও C, C ও D এবং D ও A যোগ করি। QS কর্ণের জন্য Q ও S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

প্রমাণ: মনে করি, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\underset{―}{a},\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{b},\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\underset{―}{c}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underset{―}{d}△\mathrm{AQB}$ এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

বা, $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}[\because A$ ও B যথাক্রমে PQ ও QR এর মধ্যবিন্দু]
বা, $\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}})=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 
বা, $\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})=\overrightarrow{AB}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{a}+\underset{―}{b})$

অনুরুপভাবে, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{c}),\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\frac{1}{2}(d+a)$

আবার, $\Delta$ QRS এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{QS}}=\underset{―}{b}+\underset{―}{c}$

এবং $△\mathrm{PQS}$ - এ,

$\overrightarrow{\mathrm{SP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\underset{―}{0}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{SP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=\underset{―}{0}[\because \overrightarrow{\mathrm{QS}}=-\overrightarrow{\mathrm{SQ}}]$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\therefore \overrightarrow{\mathrm{SQ}}=\underset{―}{d}+\underset{―}{a}$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{SQ}}=(\underset{―}{b}+\underset{―}{c})+(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\overrightarrow{\mathrm{QS}}=(\underset{―}{b}+\underset{―}{c})+(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})[\because \overrightarrow{\mathrm{SQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{QS}}]$
বা, $\underset{―}{0}=(\underset{―}{b}+\underset{―}{c})+(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})$
বা, $(\underset{―}{b}+\underset{―}{c})+(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})=\underset{―}{0}$
বা, $(\underset{―}{b}+\underset{―}{c})=-(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})$
বা, $\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{c})=-\frac{1}{2}(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})[$ উভয়দিকে $\frac{1}{2}$ দ্বারা করে $]$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}}[\because \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{c})$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{d}+\underset{―}{a})]$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}[\because \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\overrightarrow{\mathrm{DA}}]$
বা, $|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$
$\therefore BC=AD$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারকরেখা একই অথবা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক হওয়া সম্ভব নয়।

অতএব, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারকরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল অর্থাৎ $\mathrm{BC}\Vert \mathrm{AD}$ ।.
অনুরূপভাবে $\mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ এবং $\mathrm{AB}\Vert \mathrm{DC}$
যেহেতু, সামন্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
অতএব, ABCD একটি সামন্তরিক। [প্রমাণিত]