সৃজনশীলঃ ‘L1:3x+8y=25 এবং L2:9x+2y=31…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, $(5,7)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $m_1$

∴ রেখাটির সমীকরণ, $y-7=m_1(x-5).......$(i)

এখানে, $L_1$ রেখাটি, $3x+8y=25$

বা, $8y=-3x+25$

বা, $y=-\frac{3}{8}x+\frac{25}{8}.......$(ii)

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $m_2=-\frac{3}{8}$

(i)নং রেখা (ii)নং রেখার সমান্তরাল হলে আমরা পাই,

$m_1=m_2$ বা, $m_1=-\frac{3}{8}$

এখন, $m_1$ এর মান (i)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$y-7=-\frac{3}{8}(x-5)$

বা, $8y-56=-3x+15$

বা, $3x+8y-56-15=0$

$\therefore 3x+8y-71=0$

নির্ণেয় রেখাটির সমীকরণ : $3x+8y-71=0$.

দেওয়া আছে, $L_1$ রেখার সমীকরণ, 3x + 8y = 25............ (i)

মনে করি, (i) নং রেখাটি $x$ অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, $x$-অক্ষে A বিন্দুর কোটি শূন্য অর্থাৎ y = 0

সুতরাং $3x+8\times 0=25$

বা, $3x=25$

$\therefore x=\frac{25}{3}$

$\therefore A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{25}{3},0)$

আবার, (i) নং রেখাটি $x$-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে y অক্ষে B বিন্দুর ভুজ শূন্য অর্থাৎ x = 0

সুতরাং $3\times 0+8y=25$

বা, $8y=25$

$\therefore y=\frac{25}{8}$

$\therefore B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{25}{8})$

এখন, A ও B বিন্দুদ্বয়কে $XY$ সমতলে স্থাপন করি।

প্রদত্ত $L_1$ রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে OAB ত্রিভুজ গঠন করে।

এখানে, $△\mathrm{OAB}$ এর $\mathrm{OA}=\frac{25}{3}$ এবং $\mathrm{OB}=\frac{25}{8}$

$\therefore △\mathrm{OAB}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times \mathrm{OA}\times \mathrm{OB}$

$=\frac{1}{2}\times \frac{25}{3}\times \frac{25}{8}$ বর্গ একক $=\frac{625}{48}$ বর্গ একক

আবার, $L_2$ রেখার সমীকরণ, $9x+2y=31$.......(ii)

ধরি, (ii)নং রেখাটি $x$ ও $y$ অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, $x$-অক্ষের উপর $P$ বিন্দুর কোটি শূন্য অর্থাৎ, $y=0$

সুতরাং $9x+2\times 0=31$

বা, $9x=31$

$\therefore x=\frac{31}{9}$

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{31}{9},0)$

আবার, $y$ অক্ষের উপর $Q$ বিন্দুর ভুজ শূন্য অর্থাৎ $x=0$

সুতরাং $9\times 0+2y=31$

বা, $2y=31$

$\therefore y=\frac{31}{2}$

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{31}{2})$

এখন, P ও Q বিন্দুদ্বয় $XY$ সমতলে স্থাপন করি।

প্রদত্ত $L_2$ রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে OPQ ত্রিভুজ গঠন করে।

এখানে, $△\mathrm{OPQ}$ এর $OP=\frac{31}{9}$ এবং $OQ=\frac{31}{2}$

$\therefore △\mathrm{OPQ}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times \mathrm{OP}\times \mathrm{OQ}$

$=\frac{1}{2}\times \frac{31}{9}\times \frac{31}{2}$ বর্গ একক

$=\frac{961}{36}$ বর্গ একক

$\therefore △\mathrm{OAB}$ ও $△\mathrm{OPQ}$ এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$=\frac{625}{48}:\frac{961}{36}=\frac{\frac{625}{48}}{\frac{961}{36}}=\frac{625}{48}\times \frac{36}{961}=\frac{1875}{3844}=1875:3844$

$\therefore \Delta$-ক্ষেত্র $\mathrm{OAB}:\Delta$-ক্ষেত্র $\mathrm{OPQ}=1875:3844$.