সৃজনশীলঃ ‘একই সমতলে তিনটি…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $Q(3,3a)$ এবং $R(4,a^2+1)$

$\therefore QR$ এর ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{a^2+1-3a}{4-3}=a^2-3a+1$

প্রশ্নমতে, $a^2-3a+1=-1$

বা, $a^2-3a+1+1=0$

বা, $a^2-2a-a+2=0$

বা, $a(a-2)-1(a-2)=0$

বা, $(a-1)(a-2)=0$

$\therefore a-1=0$

বা, $a=1$

অথবা, $a-2=0$

$\therefore a=2$

নির্ণেয় মান: $a=1,2$.

দেওয়া আছে, $P(1,-1)$ এবং $Q(3,3a)$

$\therefore \mathrm{PQ}$ এর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(3-1{)}^2+(3a+1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{2^2+(3a+1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{4+(3a+1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{4+9a^2+6a+1}$ একক $=\sqrt{9a^2+6a+5}$ একক

প্রশ্নমতে, $\sqrt{9a^2+6a+5}=\sqrt{8}$

বা, $9a^2+6a+5=8$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $9a^2+6a+5-8=0$

বা, $9a^2+6a-3=0$

বা, $9a^2+9a-3a-3=0$

বা, $9a(a+1)-3(a+1)=0$

বা, $(a+1)(9a-3)=0$

হয়, $a+1=0$

বা, $a=-1$

অথবা, $9a-3=0$

বা, $9a=3$

বা, $a=\frac{3}{9}$

$\therefore a=\frac{1}{3}$

এখন, $a=-1$ হলে, P, Q ও R বিন্দুগুলো হবে P(1, – 1), Q(3, – 3) ও R(4, 2)। $xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো:

$P(1,-1),Q(3,-3)$ এবং $R(4,2)$ বিন্দুসমূহকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে নিয়ে পাই,

$△\mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 1\\ -1& -3& 2& -1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{\right(-3+6-4)-(-3-12+2\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(-3+6-4+3+12-2)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(21-9)$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times 12$ বর্গ একক $=6$ বর্গ একক

আবার, $a=\frac{1}{3}$ হলে, $P,Q$ ও $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে $P(1,-1),Q(3,1)$ এবং $R(4,\frac{10}{9})$। $xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো :

এখন, $P(1,-1),Q(3,1)$ এবং $R(4,\frac{10}{9})$ বিন্দু তিনটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে, $△\mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}4& 3& 1& 4\\ \frac{10}{9}& 1& -1& \frac{10}{9}\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(4-3+\frac{10}{9}-\frac{10}{3}-1+4)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(4+\frac{10}{9}-\frac{10}{3})$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times \frac{16}{9}$ বর্গ একক $=\frac{8}{9}$ বর্গ সে.মি.

$\therefore △\mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল $\frac{8}{9}$ বর্গ সে.মি.।