সৃজনশীলঃ ‘P(4,4)Q(5,−3),R(−4,−6) এবং S(−5,3)…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P(4,4),Q(5,-3),R(-4,-6)$ ও $S(-5,3)$ একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

∴ PR রেখার সমীকরণ : $\frac{y-4}{4-(-6)}=\frac{x-4}{4-(-4)}$

বা, $\frac{y-4}{4+6}=\frac{x-4}{4+4}$

বা, $\frac{y-4}{10}=\frac{x-4}{8}$

বা, $10x-40=8y-32$

বা, $10x-8y-40+32=0$

বা, $10x-8y-8=0$

বা, $5x-4y-4=0$

ও QS রেখার সমীকরণ : $\frac{y-(-3)}{-3-3}=\frac{x-5}{5-(-5)}$

বা, $\frac{y+3}{-6}=\frac{x-5}{5+5}$

বা, $\frac{y+3}{-6}=\frac{x-5}{10}$

বা, $10y+30=-6x+30$

বা, $6x+10y+30-30=0$

বা, $3x+5y=0$

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে,

$\frac{x}{(-4)\times 0-(-4)\times 5}=\frac{y}{(-4)\times 3-0\times 5}=\frac{1}{5\times 5-(-4)\times 3}$

বা, $\frac{x}{0+20}=\frac{y}{-12-0}=\frac{1}{25+12}$

বা, $\frac{x}{20}=\frac{y}{-12}=\frac{1}{37}$

$\therefore \frac{x}{20}=\frac{1}{37}$

আবার, $\frac{y}{-12}=\frac{1}{37}$

বা, $x=\frac{20}{37}$

বা, $y=\frac{-12}{37}$

∴ PR ও QS কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{20}{37},-\frac{12}{37})$. (Ans.)

মনে করি, PQRS চতুর্ভুজের PQ ও PS রেখাদ্বয় $X$ ও $Y$ অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে।

এখন, PQ রেখার সমীকরণ : $\frac{x-4}{4-5}=\frac{y-4}{4-(-3)}$

বা, $\frac{x-4}{-1}=\frac{y-4}{7}$

বা, $7x-28=-y+4$

বা, $7x+y=32$

এবং PS রেখার সমীকরণ : $\frac{x-4}{4-(-5)}=\frac{y-4}{4-3}$

বা, $\frac{x-4}{9}=\frac{y-4}{1}$

বা, $x-4=9y-36$

বা, $x-9y=-32$

যেহেতু PQ রেখা $x$ অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাই A বিন্দুর কোটি $y=0$

$\therefore 7x+0=32$

বা, $x=\frac{32}{7}$

$\therefore A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{32}{7},0)$

আবার, যেহেতু PS রেখা Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে, তাই B বিন্দুর ভুজ $x=0$

$\therefore 0-9y=-32$

বা, $9y=32$

$\therefore y=\frac{32}{9}$

$\therefore B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{32}{9})$.

এখানে, PQRS চতুর্ভুজের PBOA অংশ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

$\therefore \mathrm{PBOA}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}4& 0& 0& \frac{32}{7}& 4\\ 4& \frac{32}{9}& 0& 0& 4\end{array}\right|$ বর্গএকক

$=\frac{1}{2}|\frac{128}{9}+0+0+\frac{128}{7}-0-0-0-0|$ বর্গএকক

$=\frac{1}{2}\left(\frac{896+1152}{63}\right)$ বর্গএকক

$=\frac{1}{2}\times \frac{2048}{63}$ বর্গএকক

$=\frac{1024}{63}$ বর্গএকক (Ans.)