সৃজনশীলঃ ‘A(3,4),B(2t,5),C(6,t),P(6,3) এবং Q(2,…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

ছক কাগজে $x$ ও $y$ অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি 2 বাহুর দৈর্ঘ্যকে 1 একক ধরে A(3, 4), P(6, 3) ও Q(2, 9) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত APQ ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো।

এখানে, $\mathrm{AP}=\sqrt{(3-6{)}^2+(4-3{)}^2}$

$=\sqrt{(-3{)}^2+(1{)}^2}$

$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

$\mathrm{AQ}=\sqrt{(3-2{)}^2+(4-9{)}^2}$

$=\sqrt{(1{)}^2+(-5{)}^2}$

$=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$

এবং $\mathrm{PQ}=\sqrt{(6-2{)}^2+(3-9{)}^2}$

$=\sqrt{(4{)}^2+(-6{)}^2}$

$=\sqrt{16+36}$

$=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

এখানে, ${\mathrm{AP}}^2=(\sqrt{10}{)}^2=10$

${\mathrm{AQ}}^2=(\sqrt{26}{)}^2=26$

${\mathrm{PQ}}^2=(2\sqrt{13}{)}^2=4\times 13=52$

এখানে, ${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{AQ}}^2=10+26=36<{\mathrm{PQ}}^2$

$\therefore \angle \mathrm{PAQ}$ স্থূলকোণ।

$\therefore △\mathrm{APQ}$ একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

A(3, 4), B(2t, 5) এবং C(6, t) শীর্ষবিন্দু দ্বারা গঠিত

$\Delta \mathrm{ABC}$-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}3& 2t& 6& 3\\ 4& 5& t& 4\end{array}\right|$

$=\frac{1}{2}\left|(15+2t^2+24-8t-30-3t)\right|$

$=\frac{1}{2}|2t^2-11t+9|$

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2}|2t^2-11t+9|=19\frac{1}{2}$

বা, $\frac{1}{2}|2t^2-11t+9|=\frac{39}{2}$

বা, $\pm (2t^2-11t+9)=39$

বা, $2t^2-11t+9=\pm 39$

হয়, $2t^2-11t+9=39$

বা, $2t^2-11t-30=0$

বা, $2t^2-15t+4t-30=0$

বা, $t(2t-15)+2(2t-15)=0$

বা, $(2t-15)(t+2)=0$

$\therefore t=-2,\frac{15}{2}$ (Ans.)