সৃজনশীলঃ ‘D(5,9),E(−6,–7),F(15,–7) একটি ত্রিভুজের…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$P(x,y)$ বিন্দু হতে $x$-অক্ষের দূরত্ব $y$ একক

এবং $P(x,y)$ বিন্দু থেকে $E(-6,-7)$ বিন্দুর দূরত্ব

$=\sqrt{(x+6{)}^2+(y+7{)}^2}$ একক

যেহেতু $P(x,y)$ বিন্দু হতে $x$-অক্ষের দূরত্ব এবং $E(-6,-7)$ বিন্দুর দূরত্ব সমান।

অতএব, $y=\sqrt{(x+6{)}^2+(y+7{)}^2}$

বা, $y^2=(x+6{)}^2+(y+7{)}^2$

বা, $y^2=x^2+12x+36+y^2+14y+49$

বা, $y^2=x^2+y^2+12x+14y+85$

বা, $x^2+12x+14y+85=0$

$\therefore x^2+12x+14y+85=0$. (প্রমাণিত)

$DEF$ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু $D(5,9),E(-6,–7)$ এবং $F(15,-7)$

$xy$ সমতলে বিন্দু তিনটি স্থাপন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, $DEF$ ত্রিভুজটি $x$-অক্ষের সাথে $DPG$ ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

ধরি, $DE$ রেখা $x$ অক্ষকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন, $DE$ রেখার সমীকরণ,

$\frac{y-9}{x-5}=\frac{9+7}{5+6}$

বা, $\frac{y-9}{x-5}=\frac{16}{11}$

বা, $16x-80=11y-99$

বা, $16x-11y=-99+80$

$\therefore 16x-11y=-19$

রেখাটি $x$ অক্ষকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করলে $P$ বিন্দু কোটি শূন্য।

অর্থাৎ $y=0$

$\therefore 16x-11\times 0=-19$

বা, $16x=-19$

$\therefore x=-\frac{19}{16}$

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{19}{16},0)$

আবার, ধরি, $DF$ রেখা $x$ অক্ষকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে। এখন, $DF$ রেখার সমীকরণ,

$\frac{y-9}{x-5}=\frac{9+7}{5-15}$

বা, $\frac{y-9}{x-5}=\frac{16}{-10}$

বা, $16x-80=-10y+90$

বা, $16x+10y=90+80$

$\therefore 16x+10y=170$

রেখাটি $x$ অক্ষকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করলে $Q$ বিন্দুর কোটি শূন্য।

অর্থাৎ, $y=0$

$\therefore 16x+10\times 0=170$

বা, $16x=170$

বা, $x=\frac{170}{16}$

$\therefore x=\frac{85}{8}$

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{85}{8},0)$

এখন, $x$-অক্ষের সাথে $D(5,9),P(-\frac{19}{16},0)$ এবং $Q(\frac{85}{8},0)$

বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}5& -\frac{19}{16}& \frac{85}{8}& 5\\ 9& 0& 0& 9\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{0-0+\frac{765}{8}-(-\frac{171}{16}+0+0)\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{765}{8}+\frac{171}{16})$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\left(\frac{1530+171}{16}\right)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{1701}{16}$ বর্গ একক $=\frac{1701}{32}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{1701}{32}$ বর্গ একক।