সৃজনশীলঃ ‘(i) P(2, 3),…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত PQR ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় P(2, – 3), Q(7, – 3) এবং R(2, 3) ।

xy সমতলে শীর্ষত্রয়ের অবস্থান দেখানো হলো:

চিত্রে, PQR ত্রিভুজের PQ বাহুর দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{(7-2{)}^2+\{-3-(-3){\}}^2}$ একক

$=\sqrt{5^2+0}$ একক $=5$ একক

$\mathrm{PR}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(2-2{)}^2+\{3-(-3){\}}^2}$ একক

$=\sqrt{0+6^2}$ একক $=6$ একক

$\mathrm{QR}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(2-7{)}^2+\{3-(-3){\}}^2}$ একক

$=\sqrt{5^2+6^2}$ একক 

$=\sqrt{25+36}$ একক $=\sqrt{61}$ একক

ত্রিভুজটি সমকোণী হবে যদি পিথাগোরাসের সূত্রমতে এর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর বর্গের সমান হয়।

এখানে, ${\mathrm{PQ}}^2=5^2=25$ বর্গ একক

${\mathrm{PR}}^2=6^2=36$ বর্গ একক

এবং ${\mathrm{QR}}^2=(\sqrt{61}{)}^2=61$ বর্গ একক

${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2=25+36=61={\mathrm{QR}}^2$

সুতরাং PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রদত্ত সমীকরণ,

$x+3y=13\dots \dots \left(i\right)$

$x+y=3\dots \dots \left(ii\right)$

$x+y=5\dots \dots \left(iii\right)$

$y=3\dots \dots \left(iv\right)$ 

ধরি, (i)নং ও (ii)নং রেখা A বিন্দুতে ছেদ করে।

(i)নং হতে (ii)নং বিয়োগ করে পাই,

$x+3y-x-y=13-3$

বা, $2y=10$

বা, $y=\frac{10}{2}=5$

$\therefore y=5$

y এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x+5=3$

বা, $x=3-5=-2$

$\therefore x=-2$

$\therefore A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-2,5)$

(ii)নং ও (iv)নং রেখা B বিন্দুতে ছেদ করে।

(iv)নং হতে y এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x+3=3$

বা, $x=3-3=0$

$\therefore x=0$

$\therefore$ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,3)$

(iii)নং ও (iv)নং রেখা C বিন্দুতে ছেদ করে।

(iv)নং হতে y এর মান (iii)নং সমীকরনে বসিয়ে পাই,

$x+3=5$

বা, $x=5-3=2$

$\therefore x=2$

$\therefore$ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2,3)$

এবং (i)নং ও (iii)নং রেখা D বিন্দুতে ছেদ করে।

(i)নং হতে (iii)নং বিয়োগ করে পাই,

$x+3y-x-y=13-5$

বা, $2y=8$

বা, $y=\frac{8}{2}=4$

$\therefore y=4$

y এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x+4=5$

বা, $x=5-4=1$

$\therefore x=1$

$\therefore$ D বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1,4)$

xy সমতলে (i), (ii), (iii) ও (iv)নং রেখাগুলো স্থাপন করি।

রেখাগুলোর পরস্পরের ছেদবিন্দু দ্বারা ABCD চতুর্ভুজ গঠন করে। ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(- 2, 5), B(0, 3), C(2, 3) ও D(1, 4)।

এখানে, A, B, C, D বিন্দু চারটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে। অতএব ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}-2& 0& 2& 1& -2\\ 5& 3& 3& 4& 5\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{-6+0+8+5-(0+6+3-8\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(7-1)$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times 6$ বর্গ একক

$=3$ বর্গ একক

$\therefore$ (ii) নং এর সমীকরণ চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল ও বর্গ একক।