সৃজনশীলঃ ‘একটি চতুর্ভুজের চারটি…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

PQRS চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু P(6, 6), Q(-6, 6), R(6, -7) এবং S(3, – 7).

$\mathrm{xy}$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো:

$\mathrm{PQ}$বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-6-6{)}^2+(6-6{)}^2}$একক

$=\sqrt{(-12{)}^2+0^2}$ একক $=\sqrt{144}$ একক $=12$ একক

$\mathrm{QS}$ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(3+6{)}^2+(-7-6{)}^2}$ একক

$=\sqrt{9^2+(-13{)}^2}$ একক

$=\sqrt{81+169}$ একক $=\sqrt{250}$ একক $=5\sqrt{10}$ একক

SR বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-3{)}^2+(-7+7{)}^2}$ একক

$=\sqrt{3^2+0^2}$ একক$=\sqrt{9}$ একক $=3$ একক 

RP বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(6-6{)}^2+(6+7{)}^2}$ একক

$=\sqrt{0^2+{13}^2}$ একক $=13$ একক

এখানে, PQSR চতুর্ভুজটির প্রত্যেকটি বাহুই অসমান।

আবার, PQ রেখার ঢাল, $m_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-6}{6+6}=\frac{0}{12}=0$

RS রেখার ঢাল, $m_2=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-7+7}{3-6}=\frac{0}{-3}=0$

যেহেতু $m_1=m_2$. সেহেতু $QP\Vert RS$.

এখানে, PQSR চতুর্ভুজের চারটি বাহুই অসমান এবং বিপরীত দুইটি বাহু QP এবং RS পরস্পর সমান্তরাল।

$\therefore$  PQSR চতুর্ভুজটি একটি ট্রাপিজিয়াম।

[দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে প্রদত্ত P, Q, R, S বিন্দুগুলোর অবস্থান অনুযায়ী PQRS চতুর্ভুজ হয় না। তাই চতুর্ভুজ PQRS এর পরিবর্তে চতুর্ভুজ PQSR হবে।]

দেওয়া আছে,

PQSR চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু P(6, 6), Q(-6, 6), R(6, – 7) এবং S(3, – 7).

$\mathrm{xy}$ সমতলে বিন্দু চারটির অবস্থান দেখানো হলো :

চিত্র হতে দেখা যায় PQSR চতুর্ভুজের LOMSR অংশ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

ধরি, PR রেখা $x$-অক্ষকে L বিন্দুতে ছেদ করে।

PR রেখার সমীকরণ, $\frac{y-6}{x-6}=\frac{6-(-7)}{6-6}$

বা, $\frac{y-6}{x-6}=\frac{13}{0}$

বা, $13(x-6)=0$

বা, $x-6=0$

$\therefore x=6$

$\therefore$ রেখাটি x -অক্ষকে L বিন্দুতে ছেদ করলে L বিন্দুর কোটি শূন্য। অর্থাৎ, $y=0$

$\therefore$ L বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(6,0)$

আবার, ধরি, QS রেখা y অক্ষকে M বিন্দুতে ছেদ করে

$\therefore$ QS রেখার সমীকরণ,

$\frac{y-6}{x-(-6)}=\frac{6-(-7)}{-6-3}$

বা, $\frac{y-6}{x+6}=\frac{13}{-9}$

বা, $13x+78=-9y+54$

বা, $13x+9y=54-78$

$\therefore 13x+9y=-24$

রেখাটি $y$ অক্ষকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করলে $M$ বিন্দুর ভুজ শূন্য। অর্থাৎ, $x=0$

$\therefore 13\times 0+9y=-24$

বা, $9y=-24$

বা, $y=-\frac{24}{9}$

$\therefore y=-\frac{8}{3}$

$\therefore M$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-\frac{8}{3})$

এখন চতুর্থ চতুর্ভাগে, $L(6,0),O(0,0),M(0,-\frac{8}{3}),S(3,-7)$ এবং R( $6,-7$ )

বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত LOMSR পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccccc}6& 0& 0& 3& 6& 6\\ 0& 0& -\frac{8}{3}& -7& -7& 0\end{array}\right|$  বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(0-0-0-21+0-0-0+8+42+42)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 71$ বর্গ একক $=\frac{71}{2}$ বর্গ একক

নির্শেয় ক্ষেত্রফল $\frac{71}{2}$ বর্গ একক।

[দ্রটব্য : প্রশ্নে প্রদত্ত P, Q, R, S বিন্দুগুলোর অবস্থান অনুযায়ী PQRS চতুর্ভুজ হয় না। তাই চতুর্ভুজ PQRS এর পরিবর্তে চতুর্ভুজ PQSR হবে।]