সৃজনশীলঃ ‘(i) 2x−4y+6=0 এবং…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $2x-4y+6=0$

বা, $2(x-2y+3)=0$

$\therefore x-2y+3=0\dots \dots \left(i\right)$

এবং $x+y=8$

বা, $x+y-8=0$ ....... (ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$x-2y+3=0$

$x+y-8=0$

$(-)(+)$

_________________

$-3y+11=0$

বা, $-3y=-11$

বা, $y=\frac{-11}{-3}$

$\therefore y=\frac{11}{3}$

$y$ এর মান (ii) এ বসাইয়া পাই,

$x+\frac{11}{3}-8=0$

বা, $x+\frac{11-24}{3}=0$

বা, $x+\frac{-13}{3}=0$

বা, $x-\frac{13}{3}=0$

$\therefore x=\frac{13}{3}$

$\therefore Q$ এর বিন্দুর স্থানাঙ্ক $Q(\frac{13}{3},\frac{11}{3})$

ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ $y=m_{1}x+c$

(iii) নং রেখাটি $(\frac{13}{3},\frac{11}{3})$ বিন্দু দিয়ে যায় বলে $x=\frac{13}{3},y=\frac{11}{3}\therefore \frac{11}{3}=m_1\frac{13}{3}+c$

বা, $11=13m_1+3c$ [উভয়পক্ষে 3 দ্বারা গুণ করে]

$\therefore 13m_1+3c=11$

$6x-4y+5=0$ বা, $y=\frac{6x}{4}+\frac{5}{4}$ রেখার ঢাল $m=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

যেহেতু (iii) নং রেখা $6x-4y+5=0$ রেখার সমান্তরাল সেহেতু (iii) রেখার ঢাল $m_1=m=\frac{3}{2}$

$m_1$ এর মান (iv) এ বসাইয়া পাই, $13\times \frac{3}{2}+3c=11$

বা, $\frac{39}{2}+3c=11$

বা, $3c=11-\frac{39}{2}$

বা, $3c=\frac{22-39}{2}$

বা, $c=\frac{-17}{2\times 3}$

$\therefore c=-\frac{17}{6}$

$m_1$ ও c এর মান (iii) নং এ বসাইয়া পাই,

$y=\frac{3}{2}x-\frac{17}{6}$

বা, $y=\frac{9x-17}{6}$

বা, $6y=9x-17$

$\therefore 9x-6y=17$

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ, $9x-6y=17$.

এখানে, $A(0,-1),B(8,3),C(6,7)$ এবং $D(-2,3)$ হলো ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষীবন্দু।

$xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো :

AB রেখার সমীকরণ, $\frac{y+1}{x-0}=\frac{-1-3}{0-8}$

বা, $\frac{y+1}{x}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

বা, $x=2y+2$

$\therefore x-2y=2$

AB রেখাটি $x$-অক্ষকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $y=0$

এক্ষেত্রে, $x-2\cdot 0=2$

বা, $x=2$

$\therefore x$ অক্ষ ও AB রেখার ছেদবিন্দু E এর স্থানাঙ্ক $(2,0)$

আবার, CD রেখার সমীকরণ, $\frac{y-7}{x-6}=\frac{7-3}{6-(-2)}$

বা, $\frac{y-7}{x-6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

বা, $x-6=2y-14$

বা, $x-2y=6-14$

$\therefore x-2y=-8$

CD রেখাটি $y$-অক্ষকে $F$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $x=0$

এক্ষেত্রে, $0-2y=-8$

বা, $-2y=-8$

বা, $y=\frac{-8}{-2}=4=4$

$\therefore y$ অক্ষ ও CD রেখার ছেদবিন্দু $F$ এর স্থানাঙ্ক $(0,4)$

এখন, ১ম চতুর্ভাগে $O(0,0),E(2,0),B(8,3),C(6,7)$ ও $F(0,4)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত OEBCF ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccccc}0& 2& 8& 6& 0& 0\\ 0& 0& 3& 7& 4& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(0+6+56+24+0-0-0-18-0-0)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 68$ বর্গ একক $=34$ বর্গ একক

অতএব, চতুর্ভুজটির যে অংশ ১ম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল 34 বর্গ একক।