সৃজনশীলঃ ‘চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $P(2,3),Q(-2,1)$ এবং $S(-6,t)$ তিনটি বিন্দু।

যেহেতু বিন্দু তিনটি সমরেখ, সেহেতু PQ ও QS রেখার ঢালদ্বয় সমান।

এখন, PQ রেখার ঢাল $=\frac{1-3}{-2-2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$

এবং QS রেখার ঢাল $=\frac{t-1}{-6-(-2)}=\frac{t-1}{-6+2}=\frac{t-1}{-4}$

প্রশ্নমতে, $\frac{t-1}{-4}=\frac{1}{2}$

বা, $2t-2=-4$

বা, $2t=-4+2=-2$

বা, $t=-\frac{2}{2}=-1$

$\therefore t=-1$

নির্ণেয় মান : $t=-1$.

এখানে, $P(2,3),Q(-2,1)$ এবং $R(4,a)$ হলো $△\mathrm{PQR}$ এর শীর্ষবিন্দু। বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে নিয়ে,

$△\mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& -2& 4& 2\\ 3& 1& a& 3\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(2-2a+12+6-4-2a)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(16-4a)$ বর্গ একক

$=(8-2a)$ বর্গ একক

প্রশ্নমতে, $8-2a=10$

বা, $2a=8-10=-2$

বা, $a=-\frac{2}{2}=-1$

$\therefore a=-1$

$a=-1$ হলে, $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4,-1)$

$xy$ সমতলে বিন্দুগুলোকে স্থাপন করে পাই,

PQ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(2+2{)}^2+(3-1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{4^2+2^2}$ একক

$=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ একক

QR বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-2-4{)}^2+(1+1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-6{)}^2+2^2}$ একক

$=\sqrt{36+4}$ একক $=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ একক

এবং PR বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(2-4{)}^2+(3+1{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}$ একক

$=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ একক

ত্রিভুজটি সমকোণী হবে যদি পিথাগোরাসের সূত্রমতে এর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অতিভুজের বর্গের সমান হয়।

এখানে, ${\mathrm{PQ}}^2=(2\sqrt{5}{)}^2=20$ একক, ${\mathrm{PR}}^2=(2\sqrt{5}{)}^2=20$ একক

এবং ${\mathrm{QR}}^2=(2\sqrt{10}{)}^2=40$ একক

অতএব, ${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2=20+20=40={\mathrm{QR}}^2$.

সুতরাং $△\mathrm{PQR}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)