সৃজনশীলঃ ‘ABCD চতুর্ভুজের চারটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A(3,5)$ এবং $B(-8,7)$

$E(x,y)$ বিন্দু হতে $A(3,5)$ বিন্দুর দূরত্ব $=\sqrt{(x-3{)}^2+(y-5{)}^2}$

$E(x,y)$ বিন্দু হতে $B(-8,7)$ বিন্দুর দূরত্ব $=\sqrt{(x+8{)}^2+(y-7{)}^2}$

প্রশ্নমতে, $\sqrt{(x-3{)}^2+(y-5{)}^2}=\sqrt{(x+8{)}^2+(y-7{)}^2}$

বা, $(x-3{)}^2+(y-5{)}^2=(x+8{)}^2+(y-7{)}^2$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে]

বা, $x^2-6x+9+y^2-10y+25=x^2+16x+64+y^2-14y+49$

বা, $-6x-10y+34=16x-14y+113$

বা, $16x-14y+113+6x+10y-34=0$

$\therefore 22x-4y+79=0$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু $A(3,5),B(-8,7),C(-7,-8)$ এবং $D(5,-6)$.

$xy$ সমতলে বিন্দু চারটি স্থাপন করি :

চিত্র হতে দেখা যায় ABCD চতুর্ভুজটির EBFO অংশ দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

ধরি, AB রেখা $y$ অক্ষকে E বিন্দুতে এবং BC রেখা $x$-অক্ষকে $F$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

AB রেখার সমীকরণ, $\frac{y-5}{x-3}=\frac{5-7}{3-(-8)}$

বা, $\frac{y-5}{x-3}=\frac{-2}{11}$

$y$ অক্ষে $E$ বিন্দুর ভুজ শূন্য। অর্থাৎ $x=0$

$\therefore \frac{y-5}{0-3}=\frac{-2}{11}$

বা, $y-5=\frac{6}{11}$

বা, $y=\frac{6}{11}+5$

$\therefore y=\frac{61}{11}$

$\therefore E$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $E(0,\frac{61}{11})$

আবার, BC রেখার সমীকরণ, $\frac{y-7}{x-(-8)}=\frac{7-(-8)}{-8-(-7)}$

বা, $\frac{y-7}{x+8}=\frac{15}{-1}$

$x$-অক্ষে $F$ বিন্দুর কোটি শূন্য। অর্থাৎ $y=0$

$\therefore \frac{0-7}{x+8}=-15$

বা, $x+8=\frac{-7}{-15}$

বা, $x=\frac{7}{15}-8$

$\therefore x=\frac{-113}{15}$

$\therefore F$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $F(\frac{-113}{15},0)$

এখন ২য় চতুর্ভাগে $E(0,\frac{61}{11}),B(-8,7),F(\frac{-113}{15},0)$

এবং $O(O,O)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত EBFO চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}0& & & & \\ \frac{61}{11}& -8& \frac{-113}{15}& 0& 0\\ & & 0& & \frac{61}{11}\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{0+0+0+0-(\frac{-488}{11}-\frac{771}{15}+0+0)\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{488}{11}+\frac{791}{15})$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times \frac{7320+8701}{165}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{16021}{165}$ বর্গ একক $=\frac{16021}{330}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{16021}{330}$ বর্গ একক।