সৃজনশীলঃ ‘…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, ABC ত্রিভুজে D, AB-এর মধ্যবিন্দু এবং DE || BC. প্রমাণ করতে হবে E, AC-এর মধ্যবিন্দু।

E, AC-এর মধ্যবিন্দু না হলে মনে করি, G, AC-এর মধ্যবিন্দু।

তাহলে ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী পাই,

${\overrightarrow{\mathrm{AG}}}_1-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{DG}}$

$\therefore 2(\overrightarrow{\mathrm{AG}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}})=2\overrightarrow{\mathrm{DG}}$

বা, $2\overrightarrow{\mathrm{AG}}-2\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{DG}}$

কিন্তু  $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AG}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\overrightarrow{\mathrm{AG}}-2\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{DG}}$

আবার, ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী,

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{DG}}$

সুতরাং, BC || DG

কিন্তু BC $\Vert$ DE [দেওয়া আছে]

$\therefore$ DG ও DE অভিন্ন রেখা। অর্থাৎ G ও E অভিন্ন বিন্দু। অর্থাৎ E, AC এর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)

এখানে BCED ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয় BD ও CE এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P, Q যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PQ}\Vert \mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}+\mathrm{DE})$.

প্রমাণ: মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে B, C, E ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b, c, e ও d।

তাহলে, P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})$

Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})$

$\therefore \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})-\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})$

$=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e}-\underset{―}{b}-\underset{―}{d})$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(\underset{―}{c}-\underset{―}{b})+(\underset{―}{e}-\underset{―}{d}\left)\right\}$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE})[\because \overrightarrow{BC}=\underset{―}{c}-\underset{―}{b}$এবং $\overrightarrow{DE}=\underset{―}{e}-\underset{―}{d}]$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|+|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)$

$\therefore PQ=\frac{1}{2}(BC+DE)$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ সমান্তরাল বলে $(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}})$ ভেক্টরটিও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ এর সমান্তরাল।

অর্থাৎ $\mathrm{PQ}\Vert \mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$

$\therefore PQ\Vert DE\Vert BC$ এবং $PQ=\frac{1}{2}(BC+DE).($ প্রমাণিত $)$