সৃজনশীলঃ ‘…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, $△\mathrm{LMN}$-এ LM = LN । ভূমি MN-এর ওপর P যেকোনো একটি বিন্দু। MN এর উপর অঙ্কিত লম্ব LD ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2=\mathrm{MP}\cdot \mathrm{NP}$ ।

প্রমাণ : $\Delta \mathrm{LMD}$ এর $\angle \mathrm{LDM}=$ এক সমকোণ এবং $\mathrm{LM}$ অতিভুজ

$[\because \mathrm{LD}\perp \mathrm{MN}]$

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, ${\mathrm{LP}}^2={\mathrm{LD}}^2+{\mathrm{MD}}^2$ ........ (i)

আবার, $△\mathrm{LPD}$ এর $\angle \mathrm{LDP}=$ এক সমকোণ এবং LP অতিভুজ

$[\because \mathrm{LD}\perp \mathrm{NM}]$

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, ${\mathrm{LM}}^2={\mathrm{LD}}^2+{\mathrm{PD}}^2$ ........ (ii)

এখন, (i) নং থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

${\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2={\mathrm{LD}}^2+{\mathrm{MD}}^2-{\mathrm{LD}}^2-{\mathrm{PD}}^2$

বা, ${\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2={\mathrm{MD}}^2-{\mathrm{PD}}^2$

বা, ${\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2=(\mathrm{MD}+\mathrm{PD})(\mathrm{MD}-\mathrm{PD})$

বা, ${\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2=(\mathrm{MD}+\mathrm{PD})\cdot \mathrm{MP}$

বা, ${\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2=(\mathrm{ND}+\mathrm{PD})\cdot \mathrm{MP}$

[সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে ভূমির ওপর লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে অর্থাৎ, MD = ND]

বা, ${\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2=\mathrm{NP}.\mathrm{MP}$

$\therefore {\mathrm{LM}}^2-{\mathrm{LP}}^2=\mathrm{MP}.\mathrm{PN}$ (প্রমাণিত)

মনে করি, $\mathrm{LMN}$ ত্রিভুজের $\mathrm{LM}$ ও $\mathrm{LN}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Q ও R । Q, R যোগ করা হলো। ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{QR}=\frac{1}{2}\mathrm{MN}$ এবং $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{MN}$

প্রমাণ : Q ও R যথাক্রমে LM ও LN এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{QM}}=\overrightarrow{\mathrm{LQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{LR}}=\overrightarrow{\mathrm{RN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LN}}$

ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ML}}+\overrightarrow{\mathrm{LN}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{MN}}=-\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{LN}}=\overrightarrow{\mathrm{LN}}-\overrightarrow{\mathrm{LM}}\dots \dots \dots \text{ (i) }$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{QL}}+\overrightarrow{\mathrm{LR}}=-\overrightarrow{\mathrm{LQ}}+\overrightarrow{\mathrm{LR}}$

$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LN}}[\because \overrightarrow{\mathrm{LQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{LR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LN}}]$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{LN}}-\overrightarrow{\mathrm{LM}})$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ [সমীকরণ (i) হতে]

সুতরাং, $|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|$

$\therefore \mathrm{QR}=\frac{1}{2}\mathrm{MN}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ এর ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল।

কিন্তু Q ও R যথাক্রমে $\mathrm{LM}$ ও $\mathrm{LN}$ এর মধ্যবিন্দু বলে $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ এর ধারক রেখা একই হতে পারে না।

$\therefore \mathrm{QR}\Vert \mathrm{MN}$

অর্থাৎ QR $=\frac{1}{2}\mathrm{MN}$ এবং $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{MN}$ (প্রমাণিত)