সৃজনশীলঃ ‘PQRS একটি চতুর্ভুজ…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, বৃত্তে অর্ন্তলিখিত PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। PR এবং QS চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PR}\cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{SR}+\mathrm{PS}\cdot \mathrm{QR}$.

অঙ্কন : $\angle \mathrm{QPR}$ কে $\angle \mathrm{SPR}$ থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে $\angle \mathrm{QPR}$-এর সমান করে $\angle \mathrm{SPM}$ আঁকি যেন PM রেখা QS কর্ণকে M বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে $\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM}$

উভয়পক্ষে $\angle \mathrm{RPM}$ যোগ করে পাই,

$\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{RPM}=\angle \mathrm{SPM}+\angle \mathrm{RPM}$

অর্থাৎ, $\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS}$

এখন $△\mathrm{PQM}$ ও $△\mathrm{PRS}$ এর মধ্যে $\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS}$

$\angle \mathrm{PQM}=\angle \mathrm{PRS}$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PMQ}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PSR}$

$\therefore △\mathrm{PQM}$ ও $△\mathrm{PRS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$

অর্থাৎ, $\mathrm{PR}.\mathrm{QM}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}$ ........ (i)

আবার, $△\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PMS}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM}$ [অঙ্কন অনুসারে]

$\angle \mathrm{PRQ}=\mathrm{PSM}$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PQR}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PMS}$

$\therefore △\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PMS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{MS}}{\mathrm{QR}}$

অর্থাৎ, $PR.MS=QR.PS$ ...... (ii)

এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\mathrm{PR}.\mathrm{QM}+\mathrm{PR}.\mathrm{MS}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{QR}.\mathrm{PS}$

বা, $\mathrm{PR}(\mathrm{QM}+\mathrm{MS})=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{QR}.\mathrm{PS}$

বা, $PR\cdot QS=PQ\cdot RS+QR\cdot PS$ [যেহেতু QM + MS = QS]

$\therefore \mathrm{PR}\cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{SR}+\mathrm{PS}\cdot \mathrm{QR}\cdot$ (প্রমাণিত)

মনে করি, PQRS চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে A, B, C ও D। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

প্রমাণ: ধরি, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\underset{―}{p},\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{q},\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\underset{―}{r},\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underset{―}{s}$

P, R যোগ করা হলো।

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}})=\frac{1}{2}(\underset{―}{p}+\underset{―}{q})$

অনুরূপভাবে, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{r}),\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s}),\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{s}+\underset{―}{p})$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{p}+\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{RP}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underset{―}{r}+\underset{―}{s}$

কিন্তু $(\underset{―}{p}+\underset{―}{q})+(\underset{―}{r}+\underset{―}{s})=\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RP}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}=0$

অর্থাৎ $(\underset{―}{p}+\underset{―}{q})=-(\underset{―}{r}+\underset{―}{s})$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{p}+\underset{―}{q})=-\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s})=-\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ এর ধারকরেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক নয়।

∴ ধারকরেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\Vert \overrightarrow{\mathrm{DC}}$.

এখন, $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DC}}|\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DC}$

$\therefore \mathrm{AB}$ এবং DC সমান ও সমান্তরাল।

অনুরূপভাবে, BC এবং AD সমান ও সমান্তরাল।

∴ ABCD একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)