সৃজনশীলঃ ‘△ABC-এ AD, BE…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন:$△\mathrm{ABC}$-এ $\mathrm{AD},\mathrm{BE}$ ও CF যথাক্রমে $\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ এবং AB বাহুর উপর মধ্যমা। $\mathrm{AD},\mathrm{BE}$ ও CF মধ্যমাত্রয় G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2=\frac{1}{2}({\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2)$
অঙ্কন: শীর্ষবিন্দু A থেকে BC এর উপর AP লম্ব আঁকি।
প্রমাণ:
এ$△\mathrm{ABD}-এ,\angle \mathrm{ADB}$ সূক্ষকোণ এবং BD এর উপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP

$\therefore {\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2-2\cdot \mathrm{BD}\cdot \mathrm{DP}$ . . . . . .(i) [সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে]

আবার, $△\mathrm{ADC}$-এ $\angle \mathrm{ADC}$ স্থূলকোণ এবং CD রেখার বর্ধিতাংশের উপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP ।

$\therefore {\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{DC}}^2+2\cdot \mathrm{DC}\cdot \mathrm{DP}$  . . . . . .(ii) [স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে]

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2-2\cdot \mathrm{BD}\cdot \mathrm{DP}+A{D}^2+{\mathrm{DC}}^2+2\cdot \mathrm{DC}\cdot \mathrm{DP}$

বা, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2{\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{BD}}^2-2\cdot \mathrm{BD}\cdot \mathrm{DP}+{\mathrm{BD}}^2+2\cdot \mathrm{BD}\cdot \mathrm{DP}$ [AD মধ্যম হওয়ায়, BD = DC]
বা, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2{\mathrm{AD}}^2+2{\mathrm{BD}}^2$
$\therefore {AD}^2+{BD}^2=\frac{1}{2}({AB}^2+{AC}^2)$[প্রমাণিত]

দেওয়া আছে, $△\mathrm{ABC}$-এ $\mathrm{AD},\mathrm{BE}$ ও CF যথাক্রমে $\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ এবং AB বাহুর উপর মধ্যমা। সুতরাং, BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F. প্রমাণ করতে হবে যে,

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0$

প্রমাণ:
$△\mathrm{ABD}$-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$.
[ ∵ D, BC এর মধ্যবিন্দু]

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ . . . . . . . (i)

আবার, $△\mathrm{ABE}$-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}......\left(ii\right)[\because E,\mathrm{AC}$ ত্রর মধ্যবিন্দু]

এবং $△\mathrm{ACF}$-এ ভেক্টর যোগের  ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.......\left(iii\right)[\because F,\mathrm{AB}$ এর  মধ্যবিন্দু]

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}})-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}})-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
বা,  $\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}[\because \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}]$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0$  [প্রমাণিত]