সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে DERQ একটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বি.দ্র.: প্রশ্নে $△\mathrm{PQR}$ এর $\mathrm{PQ}$ এবং $\mathrm{PR}$ বাহুর মধ্যবিন্দু $M$ এবং $N$ ধরে সমাধান করা হলো]

এখানে, $△\mathrm{PQR}$ এর $\mathrm{PQ}$ ও $\mathrm{PR}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ ও $N$। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{MN}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$.
প্রমাণ : যেহেতু $\mathrm{PQ}$ ও $\mathrm{PR}$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ এবং $N$.
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{PN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$
এখন, $△\mathrm{PMN}$ হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{PN}}-\overrightarrow{\mathrm{PM}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}})$ ........... (1)
আবার, $△\mathrm{PQR}$-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই,
$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ........... (2)
(1) ও (2) নং হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}$
বা, $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}|$$\therefore \mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$
যেহেতু $MN,QR$ এর অর্ধেক। অতএব MN এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু $\mathrm{MN}$ ও $\mathrm{QR}$ এর ধারক রেখা এক নয়। $\therefore \mathrm{MN}$ ও $\mathrm{QR}$ পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{MN}$.
সুতরাং, $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{MN}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$. (প্রমাণিত)

[বি.দ্র.: DERQ ট্রাপিজিয়ামের $\mathrm{QE}$ এবং $\mathrm{RD}$ কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু $M$ এবং $N$ ধরে সমাধান করা হলো]

মনে করি, DERQ ট্রাপিজিয়ামের $\mathrm{QE}$ ও $\mathrm{DR}$ কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ ও $N$। প্রমাণ করতে হবে যে,
$\mathrm{MN}\Vert \mathrm{DE}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{DE})$.
প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে $Q,R,E$ ও $D$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{q},\underset{―}{r},\underset{―}{e}$ ও $\underset{―}{d}$.
তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\underset{―}{d}-\underset{―}{e}$
এখন, $M$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = $\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{e})$
এবং $N$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = $\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{d})$
সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{d})-\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{e})$
$=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{d}-\underset{―}{q}-\underset{―}{e})=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}-\underset{―}{q}+\underset{―}{d}-\underset{―}{e})$
কিন্তু, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\underset{―}{e}-\underset{―}{d}$
অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}})$
বা, $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=|\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}}\left)\right|$
বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{DE})$
$\because \overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী।
সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ এর সমান্তরাল।
অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ এর সমান্তরাল।
$\therefore \mathrm{MN}\Vert \mathrm{DE}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{DE})$. (প্রমাণিত)