সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে P, Q…’ যশোর বোর্ড ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $△$ KLM এর LM, MK এবং KL বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q এবং R.
প্রমাণ করতে হবে যে, $\overrightarrow{\mathrm{KP}}+\overrightarrow{\mathrm{LQ}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}=\underset{―}{0}$
প্রমাণ : $△$ LMR এ ভেক্টর যোগ বিধি অনুসারে পাই,
$\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}=\overrightarrow{\mathrm{LR}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LK}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{LK}}=2(\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}})$
আবার, $\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MK}}=\overrightarrow{\mathrm{LK}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{MK}}=\overrightarrow{\mathrm{LK}}-\overrightarrow{\mathrm{LM}}=2(\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}})-\overrightarrow{\mathrm{LM}}=\overrightarrow{\mathrm{LM}}+2\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
আবার, $△$ LMQ এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে,
$\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=\overrightarrow{\mathrm{LQ}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{LM}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{MK}}=\overrightarrow{\mathrm{LQ}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{LQ}}=\overrightarrow{\mathrm{LM}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{LM}}+2\overrightarrow{\mathrm{MR}})=\overrightarrow{\mathrm{LM}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{LQ}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
$△$ LKP-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে,
$\overrightarrow{\mathrm{LK}}+\overrightarrow{\mathrm{KP}}=\overrightarrow{\mathrm{LP}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{LK}}+\overrightarrow{\mathrm{KP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{KP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}-\overrightarrow{\mathrm{LK}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{KP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}-2(\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}})$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{KP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}-2\overrightarrow{\mathrm{LM}}-2\overrightarrow{\mathrm{MR}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}-2\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
বামপক্ষ $=\overrightarrow{\mathrm{KP}}+\overrightarrow{\mathrm{LQ}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
$=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}-2\overrightarrow{\mathrm{MR}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
$=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}-2\overrightarrow{\mathrm{MR}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{LM}}+2\overrightarrow{\mathrm{MR}}=\underset{―}{0}=$ ডানপক্ষ
সুতরাং, $\overrightarrow{\mathrm{KP}}+\overrightarrow{\mathrm{LQ}}+\overrightarrow{\mathrm{MR}}=\underset{―}{0}$. (প্রমাণিত)

এখানে, $△$ PQR এর KL ও MK বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও Q.
আবার, LR ও MQ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T. R, Q এবং S, T যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{ST}\Vert \mathrm{RQ}\Vert \mathrm{LM}$ এবং $\mathrm{ST}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{LM}+\mathrm{RQ})$
প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে L, M, Q ও R বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{l}$, $\underset{―}{m}$, $\underset{―}{q}$ ও $\underset{―}{r}$।
তাহলে, S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{l}+\underset{―}{r})$
T বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{m}+\underset{―}{q})$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{ST}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{m}+\underset{―}{q})-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{l}+\underset{―}{r})$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{m}+\underset{―}{q}-\underset{―}{l}-\underset{―}{r})={\displaystyle \frac{1}{2}}\left\{\right(\underset{―}{m}-\underset{―}{l})+(\underset{―}{q}-\underset{―}{r}\left)\right\}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}})$$[\because \overrightarrow{\mathrm{LM}}=\underset{―}{m}-\underset{―}{l}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\underset{―}{q}-\underset{―}{r}]$
বা, $|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|={\displaystyle \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|)={\displaystyle \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{\mathrm{LM}}|+|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|)$
$\therefore \mathrm{ST}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{LM}+\mathrm{RQ})$
আবার, $\overrightarrow{\mathrm{LM}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$ সমান্তরাল বলে $(\overrightarrow{\mathrm{LM}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}})$ ভেক্টরটিও $\overrightarrow{\mathrm{LM}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$ এর সমান্তরাল।
অর্থাৎ $\mathrm{ST}\Vert \mathrm{RQ}\Vert \mathrm{LM}$
$\therefore \mathrm{ST}\Vert \mathrm{RQ}\Vert \mathrm{LM}$ এবং $\mathrm{ST}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{LM}+\mathrm{RQ})$। (প্রমাণিত)