সৃজনশীলঃ ‘X ও Y…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $△\mathrm{MNR}$ এর MN ও MR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y.
প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{XY}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{NR}$

প্রমাণ : X ও Y যথাক্রমে MN ও MR এর মধ্যবিন্দু।
$\therefore$$\overrightarrow{\mathrm{MX}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{MY}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
$△\mathrm{MXY}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,
$\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{MY}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{MY}}-\overrightarrow{\mathrm{MX}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{MR}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{MN}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{MR}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}})$ .........(1)
আবার, $△\mathrm{MNR}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,
$\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{MR}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\overrightarrow{\mathrm{MR}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ .........(2)
(1) ও (2) হতে পাই,
$\overrightarrow{\mathrm{XY}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{NR}}$
বা, $|\overrightarrow{\mathrm{XY}}|={\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{NR}}|$
$\therefore$$\mathrm{XY}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{NR}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, NRYX ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ NY ও কর্ণ RX এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B।
A, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{NR}-\mathrm{XY})$.

প্রমাণ : মনে করি, কোনো মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে N, R, Y এবং X বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{n}$, $\underset{―}{r}$, $\underset{―}{y}$ এবং $\underset{―}{x}$।
তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{NR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{n}$, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\underset{―}{y}-\underset{―}{x}$
এখন, A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{n}+\underset{―}{y})$
এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{r}+\underset{―}{x})$
সুতরাং, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{r}+\underset{―}{x})-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{n}+\underset{―}{y})={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{r}+\underset{―}{x}-\underset{―}{n}-\underset{―}{y})$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(\underset{―}{r}-\underset{―}{n}+\underset{―}{x}-\underset{―}{y})={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{NR}}+\overrightarrow{\mathrm{YX}})={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{NR}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}})$
বা, $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|={\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{\mathrm{NR}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}}|$
বা, $\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{2}}(|\overrightarrow{\mathrm{NR}}|-|\overrightarrow{\mathrm{XY}}|)$
$\therefore$$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{NR}-\mathrm{XY})$. (প্রমাণিত)