সৃজনশীলঃ ‘△PQR এর PQ…’ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $△\mathrm{PQR}$ এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{ST}$ এবং $\mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$.
প্রমাণ : যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T.

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এরং $\overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

এখন, $\Delta \mathrm{PST}$ হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}})$ . . . . . . . .(1)

আবার, $△\mathrm{PQR}$-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$. . . . . . . .(2)

(1) ও (2) নং হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|$
$\therefore \mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$.

যেহেতু ST, QR এর অর্ধেক। অতএব ST এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু ST ও QR এর ধারক রেখা এক নয়। তাই ST ও QR পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR $\Vert \mathrm{ST}$

সুতরাং $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{ST}$ এবং $\mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$. (প্রমাণিত)

[বি.দ্র.: S ও T এর পরিবর্তে যথাক্রমে M ও N হবে]

এখানে QRNM ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্ধয় QM ও RN এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T । S, T যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ST || MN || QR এবং $\mathrm{ST}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}+\mathrm{MN})$.

প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে Q, R, N ও M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b, c, e ও d।
তাহলে, $S$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})$
T বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})$

এবং$\begin{array}{cc}\therefore \overrightarrow{\mathrm{ST}}& =\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})-\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})\\ & =\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e}-\underset{―}{b}-\underset{―}{d})=\frac{1}{2}\left\{\right(\underset{―}{c}-\underset{―}{b})+(\underset{―}{e}-\underset{―}{d}\left)\right\}\\ & =\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}})[\because \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{c}-\underset{―}{b}\text{ এবং }\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\underset{―}{e}-\underset{―}{d}]\end{array}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}|)=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|+|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|)$

$\therefore \mathrm{ST}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}+\mathrm{MN})$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ সমান্তরাল বলে $(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}})$ ভেক্টরটিও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ এর সমান্তরাল।
অর্থাৎ ST $\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{QR}$
$\therefore \mathrm{ST}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{ST}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}+\mathrm{MN})$. (প্রমাণিত)