সৃজনশীলঃ ‘△PQR এর PQ,PR…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বি.দ্র.: T, D, S এর পরিবর্তে যথাক্রমে A, B ও C হবে।

দেওয়া আছে, $△\mathrm{PQR}$-এর $\mathrm{PQ},\mathrm{QR}$ ও PR বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে T, D ও S । প্রমাণ করতে হবে যে, $\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underset{―}{0}$. 

ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, $△\mathrm{PQS}$ হতে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PR}}=2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}}\dots \dots \dots ..\text{ (i) }$

$\Delta \mathrm{PQR}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\left\{\right[\left(i\right)$ নং হতে $\left]\right\}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}}...............\text{ (ii) }$

$△\mathrm{PQD}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}[\because \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}]...............\text{ (iii) }$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}})$$\left[\right(ii)$ নং হতে $]$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}$

$△\mathrm{PRT}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}[\because \overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}]$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-(2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2\overrightarrow{\mathrm{QS}})$  $\left[\right(i)$ নং হতে $]$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2\overrightarrow{\mathrm{QS}}$$.........\left(iv\right)$

বামপক্ষ $=\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2\overrightarrow{\mathrm{QS}}$

$=\underset{―}{0}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underset{―}{0}.$
(প্রমাণিত )

[বি. দ্র: S, T এর পরিবর্তে A, B হবে]

এখানে, $△\mathrm{PQR}$ এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{ST}$ এবং $\mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$.

প্রমাণ : যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T.

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

এখন, △ PST হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}})$. . . . . . . . . .(1) 

আবার, $△\mathrm{PQR}$-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$. . . . . . . . . . .(2)

(1) ও (2) নং হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|$

$\therefore \mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}.$

যেহেতু ST, QR এর অর্ধেক। অতএব ST এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু ST ও QR এর ধারক রেখা এক নয়। তাই ST ও QR পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR $\Vert \mathrm{ST}$ সুতরাং QR || ST এবং ST = $\frac{1}{2}$ QR. (প্রমাণিত)