সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে △ ABC…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, △ ABC-এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে,

$\mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$.

প্রমাণ : D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু ।

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$△\mathrm{ADE}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
বা, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$. . . . . . . . (1)

আবার, $△\mathrm{ABC}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ . . . . . . . . (2)

(1) ও (2) হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় DE এবং BC সমান্তরাল।

$\therefore \mathrm{DE}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$. (প্রমাণিত)

এখানে BCED ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয় BD ও CE এর 'মধ্যবিন্দু যথাক্রমে Mও NI M, N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে,

$\mathrm{DE}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}+\mathrm{DE})$.

প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে B, C, B ও D বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে b, c, e ও d।
তাহলে, M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(b+d)$
$N$ বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})$

এবং$\begin{array}{cc}\therefore \overrightarrow{\mathrm{MN}}& =\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e})-\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{d})\\ & =\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{e}-\underset{―}{b}-\underset{―}{d})=\frac{1}{2}\left\{\right(\underset{―}{c}-\underset{―}{b})+(\underset{―}{e}-\underset{―}{d}\left)\right\}\\ & =\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DE})[\because \overrightarrow{BC}=\underset{―}{c}-\underset{―}{b}\text{ এবং }\overrightarrow{DE}=\underset{―}{e}-\underset{―}{d}]\end{array}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|+|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)$

$\therefore \mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}+\mathrm{DE})$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ সমান্তরাল বলে ( $\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ) ভেক্টরটিও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ এর সমান্তরাল। অর্থাৎ $\mathrm{DE}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$
$\therefore \mathrm{DE}\Vert \mathrm{MN}\Vert \mathrm{BC}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}+\mathrm{DE})$. (প্রমাণিত)