সৃজনশীলঃ ‘△ PQR এর…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, △PQR এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{QR}\Vert \mathrm{ST}$ এবং $\mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$.

প্রমাণ: যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T.

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

এখন, $\Delta \mathrm{PST}$ হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}})$.....91)

আবার, $△\mathrm{PQR}$-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$...(2)

(1) ও (2) নং হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|$

$\therefore \mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$

যেহেতু ST, QR এর অর্ধেক। অতএব ST এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু ST ও QR এর ধারক রেখা এক নয়। তাই ST ও QR পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR || ST সুতরাং QR || ST এবং $\mathrm{ST}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$. (প্রমাণিত)

মনে করি, QRTS ট্রাপিজিয়ামের QT ও SR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{MN}\Vert \mathrm{ST}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST})$.

প্রমাণ: মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, T ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে  $\underset{―}{q},\underset{―}{r},\underset{―}{t}$ ও $\underset{―}{s}$

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\underset{―}{t}-\underset{―}{s}$

এখন, $M$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{t})$

এবং N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s})$

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s})-\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{t})$

$=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s}-\underset{―}{q}-\underset{―}{t})=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}-\underset{―}{q}+\underset{―}{s}-\underset{―}{t})$

কিন্তু, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{TS}}=\underset{―}{s}-\underset{―}{t}$

অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{TS}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}})$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$

বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|-|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST})$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী ।

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ এর সমান্তরাল।

অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{ST}}$ এর সমান্তরাল।

$\therefore \mathrm{MN}\Vert \mathrm{ST}\Vert \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST})$. (প্রমাণিত)