সৃজনশীলঃ ‘একটি চতুর্ভুজের চারটি…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বি. দ্র.: P, Q, R এবং ১ এর পরিবর্তে যথাক্রমে A, B, C এবং D হবে।

এখানে, P(2,- 3) Q(3, 0) R(0, 1) এবং S(- 1, - 2) বিন্দুগুলো PQRS চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু। 

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে, PQRS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}2& 3& 0& -1& 2\\ -3& 0& 1& -2& -3\end{array}\right|$  বর্গ একক 

$=\frac{1}{2}(0+3+0+3+9+0+1+4)$ বর্গ একক 

$=\frac{1}{2}\times 20$বর্গ একক $=10$ বর্গ একক 

মনে করি, বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক
∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $=a^2$ বর্গ একক
প্রশ্নমতে, $a^2=10$

$\therefore a=\sqrt{10}$

∴ বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2}a$ একক $=\sqrt{2}\times \sqrt{10}$ একক
নির্ণেয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{5}$ একক।

$=\sqrt{20}$ একক $=2\sqrt{5}$ একক  

বি. দ্র.: P, Q, R এবং ১ এর পরিবর্তে যথাক্রমে A, B, C এবং D হবে।

এখানে, চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে

$P(2,-3),$$Q(3,0),$$R(0,1)$ এবং $S(-1,-2)$

$\therefore$ PR রেখার সমীকরণ, $\frac{y+3}{x-2}=\frac{-3-1}{2-0}$
বা, $\frac{y+3}{x-2}=\frac{-4}{2}=-2$
বা, $y+3=-2x+4$
বা, $2x+y=4-3$

$\therefore 2x+y=1$$.....\left(i\right)$

আবার, QS রেখার সমীকরণ, $\frac{y-0}{x-3}=\frac{0-(-2)}{3-(-1)}$
বা, $\frac{y}{x-3}=\frac{0+2}{3+1}$
বা, $\frac{y}{x-3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
বা, $x-3=2y$

$\therefore x=2y+3$$.....\left(ii\right)$

x এর মান (i)নং এ বসিয়ে পাই, $2(2y+3)+y=1$

বা, $4y+6+y=1$
বা, $5y=1-6$
বা, $5y=-5$
বা, $y=\frac{-5}{5}$

$\therefore y=-1$

y এর মান (ii)নং এ বসিয়ে পাই, $x=2(-1)+3$
বা, $x=-2+3$

$\begin{array}{cc}\therefore & x=1\\ \therefore & (x,y)=(1,-1)\end{array}$

$\therefore$ PR ও QS রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1,-1)$.