সৃজনশীলঃ ‘A=sec⁡θ,B=tan⁡θ ও C=cos⁡θ;…’ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল ২০২৬ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\sec \theta ,B=\tan \theta ,C=\cos \theta$
$A+B=2C$ হলে, $\sec \theta +\tan \theta =2\cos \theta ;0<\theta <2\pi$
বা, $\frac{1}{\cos \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=2\cos \theta$
বা, $\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }=2\cos \theta$
বা, $1+\sin \theta =2{\cos }^2\theta$
বা, $1+\sin \theta =2(1-{\sin }^2\theta )$
বা, $1+\sin \theta =2-2{\sin }^2\theta$
বা, $2{\sin }^2\theta +\sin \theta -1=0$
বা, $2{\sin }^2\theta +2\sin \theta -\sin \theta -1=0$
বা, $2\sin \theta (\sin \theta +1)-1(\sin \theta +1)=0$
বা, $(\sin \theta +1)(2\sin \theta -1)=0$

$\therefore \sin \theta +1=0$ বা, $\sin \theta =-1$

অথবা, $2\sin \theta -1=0$
বা, $2\sin \theta =1$
বা, $\sin \theta =\frac{1}{2}$

১ম চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$

$\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$

২য় চর্তুভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$
বা, $\sin \theta =\sin (2\times \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6})$
বা, $\theta =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$

$\therefore \theta =\frac{5\pi }{6}$

৩য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-1=-\sin \frac{\pi }{2}=\sin (2\times \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})$
বা, $\theta =\pi +\frac{\pi }{2}$

$\therefore \theta =\frac{3\pi }{2}$

নির্ণেয় মান : $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$.

দেওয়া আছে, $B=\tan \theta$
$B^2+B^{-2}=2$ হলে,
বা, $B^2+\frac{1}{B^2}=2$
বা, ${\tan }^2\theta +\frac{1}{{\tan }^2\theta }=2$
বা, ${\tan }^2\theta +{\cot }^2\theta =2;0<\theta <2\pi$
বা, $\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=2$
বা, $\frac{{\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta }{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }=2$
বা, ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$
বা, ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta -2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =0$
বা, ${({\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta )}^2=0$
বা, ${\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta =0$
বা, ${\sin }^2\theta -(1-{\sin }^2\theta )=0[\because {\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta ]$
বা, ${\sin }^2\theta -1+{\sin }^2\theta =0$
বা, $2{\sin }^2=1$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{1}{2}$
বা, $\sin \theta =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে,

প্রথম চতুর্ভাগে $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}$

$\therefore \theta =\frac{\pi }{4};$ যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<\theta <2\pi$

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin (\pi -\frac{\pi }{4})$

$\therefore \theta =\frac{3\pi }{4};$ যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<\theta <2\pi$
আবার, $\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে,

তৃতীয় চতুর্ভাগে $\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin (\pi +\frac{\pi }{4})$

$\therefore \theta =\frac{5\pi }{4};$ যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<\theta <2\pi$

চতুর্থ চতুর্ভাগে $\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{4})$,

$\therefore \theta =\frac{7\pi }{4};$ যা গ্রহণযোগ্য কারণ $0<\theta <2\pi$

নির্ণেয় মান : $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ ও $\frac{7\pi }{4}$.