সৃজনশীলঃ ‘(8x+1)−1+(8x+1)−2+(8x+1)−3+……. একটি অনন্ত…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$(8 x + 1)^{- 1} + (8 x + 1)^{- 2} + (8 x + 1)^{- 3} + \dots \dots$ . একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা এবং $f (x) = \ln \frac{5 + x}{5 - x}$ .

উত্তর:

দেওয়া আছে, $y^{y \sqrt{y}} = (y \sqrt{y})^{y}$

বা, ${(y^{y})}^{\sqrt{y}} = {(y \cdot y^{\frac{1}{2}})}^{y} = {(y^{1 + \frac{1}{2}})}^{y} = {(y^{\frac{3}{2}})}^{y} = {(y^{y})}^{\frac{3}{2}}$

বা, ${(y^{y})}^{\sqrt{y}} = {(y^{y})}^{\frac{3}{2}}$

বা, $\sqrt{y} = \frac{3}{2}$

বা, $(\sqrt{y})^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$ [বর্গ করে]

$∴ y = \frac{9}{4}$

নির্ণেয় মান : $y = \frac{9}{4}$ .

উত্তর:

প্রদত্ত ধারা: $(8 x + 1)^{- 1} + (8 x + 1)^{- 2} + (8 x + 1)^{-} +$ .........

$= \frac{1}{8 x + 1} + \frac{1}{(8 x + 1)^{2}} + \frac{1}{(8 x + 1)^{3}} +$ ..........

প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{8 x + 1}$

এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1}{(8 x + 1)^{2}} \div \frac{1}{8 x + 1} = \frac{1}{8 x + 1}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি, $| r | < 1$ হয় অর্থাৎ - $1 < r < 1$

বা, $- 1 < \frac{1}{8 x + 1} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{8 x + 1}$

বা, $- 1 > 8 x + 1$

বা, $- 1 - 1 > 8 x$

বা, $- 2 > 8 x$

বা, $\frac{- 2}{8} > x$ বা, $- \frac{1}{4} > x$

এবং $\frac{1}{8 x + 1} < 1$

বা, $8 x + 1 > 1$

বা, $8 x > 1 - 1$

বা, $8 x > 0$

বা, $x > 0$

$∴ x < - \frac{1}{4}$

∴ শর্ত : $x > 0$ অথবা $x < - \frac{1}{4}$

এবং অসীমতক সমষ্টি, $S_{\propto} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{8 x + 1}}{1 - \frac{1}{8 x + 1}} = \frac{\frac{1}{8 x + 1}}{\frac{8 x + 1 - 1}{8 x + 1}}$

$= \frac{1}{8 x + 1} \times \frac{8 x + 1}{8 x} = \frac{1}{8 x}$

$∴$ অসীমতক সমষ্টি $= \frac{1}{8 x}$ .

উত্তর:

দেওয়া আছে, $f (x) = \ln \frac{5 + x}{5 - x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$∴ \frac{5 + x}{5 - x} > 0$ হবে যদি (i) $5 + x > 0$ এবং $5 - x > 0$ হয়

অথবা, (ii) $5 + x < 0$ এবং $5 - x < 0$ হয়

(i)নং হতে পাই,

$x > - 5$ এবং $- x > - 5$

বা, $x > - 5$ এবং $x < 5$

$∴$ ডোমেন $= {x : x > - 5} \cap {x : x < 5}$

$= (- 5, \infty) \cap (- \infty, 5) = (- 5, 5)$

(ii)নং হতে পাই,

$x < - 5$ এবং $- x < - 5$

বা, $x < - 5$ এবং $x > 5$

$∴$ ডোমেন $= {x : x < - 5} \cap {x : x > 5} = (- \infty, - 5) \cap (5, \infty) = \emptyset$

$∴$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_{f} =$ (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$= (- 5, 5) \cup \emptyset = (- 5, 5)$

ধরি, $y = f (x) = \ln \frac{5 + x}{5 - x}$

বা, $e^{y} = \frac{5 + x}{5 - x}$

বা, $5 + x = 5 e^{y} - x e^{y}$

বা, $x + x e^{y} = 5 e^{y} - 5$

বা, $x (1 + e^{y}) = 5 (e^{y} - 1)$

বা, $x = \frac{5 (e^{y} - 1)}{e^{y} + 1}$

$y$ -এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$∴$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_{f} = R$

নির্ণেয় ডোমেন $D_{f} = (- 5, 5)$ এবং রেঞ্জ $R_{f} = R$ .

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(8x+1)−1+(8x+1)−2+(8x+1)−3+……. একটি অনন্ত…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(8x+1)−1+(8x+1)−2+(8x+1)−3+……. একটি অনন্ত…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর