সৃজনশীলঃ ‘f(p)=1x+p+2xx2+2p+4x3x4+4p2+8x716p4−x8 এবং z=1−3y1+3y…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(p\right)=\frac{1}{x+p}+\frac{2x}{x^2+2p}+\frac{4x^3}{x^4+4p^2}+\frac{8x^7}{16p^4-x^8}$

এখানে, $f\left(2\right)=\frac{1}{x+2}+\frac{2x}{x^2+2.2}+\frac{4x^3}{x^4+{4.2}^2}+\frac{8x^7}{{16.2}^4-x^8}$

$=\frac{1}{x+2}+\frac{2x}{x^2+4}+\frac{4x^3}{x^4+16}+\frac{8x^7}{256-x^8}$

প্রদত্ত রাশির ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল

$=\frac{4x^3}{x^4+16}+\frac{8x^7}{256-x^8}=\frac{4x^3}{x^4+2^4}+\frac{8x^7}{2^8-x^8}$

$=\frac{4x^3}{2^4+x^4}+\frac{8x^7}{{\left(2^4\right)}^2-{\left(x^4\right)}^2}=\frac{4x^3}{2^4+x^4}+\frac{8x^7}{(2^4+x^4)(2^4-x^4)}$

$=\frac{4x^3}{2^4+x^4}(1+\frac{2x^4}{(2^4-x^4)})$

$=\frac{4x^3}{2^4+x^4}\times \frac{2^4-x^4+2x^4}{2^4+x^4}=\frac{4x^3}{2^4+x^4}\times \frac{2^4+x^4}{2^4-x^4}=\frac{4x^3}{2^4-x^4}$

এখন, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ পদের যোগফল $=\frac{2x}{x^2+4}+\frac{4x^3}{2^4-x^4}$

$=\frac{2x}{x^2+2^2}+\frac{4x^3}{{\left(2^2\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2}=\frac{2x}{x^2+2^2}+\frac{4x^3}{(2^2+x^2)-(2^2-x^2)}$

$=\frac{2x}{2^2+x^2}(1+\frac{2x^2}{2^2-x^2})=\frac{2x}{2^2+x^2}\times \frac{2^2-x^2+2x^2}{2^2-x^2}$

$=\frac{2x}{2^2+x^2}\times \frac{2^2+x^2}{2^2-x^2}=\frac{2x}{2^2-x^2}$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি $\frac{1}{x+2}+\frac{2x}{2^2-x^2}$

$=\frac{1}{2+x}+\frac{2x}{(2+x)(2-x)}=\frac{1}{2+x}(1+\frac{2x}{2-x})$

$=\frac{1}{2+x}\times \frac{2-x+2x}{2-x}=\frac{1}{2+x}\times \frac{2+x}{2-x}=\frac{1}{2-x}$

সুতরাং, $f\left(2\right)=\frac{1}{2-x}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $z=\frac{1-3y}{1+3y}$

শর্তমতে, $g\left(y\right)=\ln z$

বা, $g\left(y\right)=\ln \left(\frac{1-3y}{1+3y}\right)$

যেহেতু শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার লগারিদম সজ্ঞায়িত সুতরাং,

$g\left(y\right)\in R$ হবে যদি, $\frac{1-3y}{1+3y}>0$ হয়।

এখন, $\frac{1-3y}{1+3y}>0$ হবে যখন-

(i) $1-3y>0$ এবং $1+3y>0$ হয় অথবা

(ii) $1-3y<0$ এবং $1+3y<0$ হয়।

(i) নং হতে পাই,

$1>3y$

বা, $3y<1$

বা, $y<\frac{1}{3}$

এবং $3y>-1$

বা, $y>-\frac{1}{3}$

$\therefore$ ডোমেন $=\{y\in R:y<\frac{1}{3}\}\cap \{y\in R:y>-\frac{1}{3}\}$

$=(-\infty ,\frac{1}{3})\cap (-\frac{1}{3},\infty )=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

(ii) নং হতে পাই,

$1<3y$

বা, $3y>1$

বা, $y>\frac{1}{3}$

এবং $3y<-1$

 বা, $y<-\frac{1}{3}$

$\therefore$ ডোমেন $=\{y\in R:y>\frac{1}{3}\}\cap \{y\in R:y<-\frac{1}{3}\}$

$=(\frac{1}{3},\infty )\cap (-\infty ,-\frac{1}{3})=\varnothing$

$\therefore$ ডোমেন, $D_g=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})\cup \varnothing =(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

∴ নির্ণেয় ডোমেন: $(-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$