সৃজনশীলঃ ‘(i) y=ln⁡13+x13−x এবং(ii)…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $y=\ln \frac{13+x}{13-x}$

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore \frac{13+x}{13-x}>0$ হবে যদি (i) $13+x>0$ এবং $13-x>0$ হয়

অথবা, (ii) $13+x<0$ এবং $13-x<0$ হয়

(i)নং হতে পাই,

$x>-13$ এবং $-x>-13$

বা, $x>-13$ এবং $x<13$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x>-13\}\cap \{x:x<13\}$

$=(-13,\infty )\cap (-\infty ,13)=(-13,13)$

(ii) নং হতে পাই,

$x<-13$ এবং $-x<-13$

বা, $x<-13$ এবং $x>13$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-13\}\cap \{x:x>13\}$

$=(-\infty ,-13)\cap (13,\infty )=\varnothing$

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

$D_f=$ (i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-13,13)\cup \varnothing =(-13,13)$

আবার, $y=\ln \frac{13+x}{13-x}$

বা, $e^y=\frac{13+x}{13-x}$

বা, $13+x=13e^y-{\mathrm{xe}}^y$

বা, $x+x{e}^y=13e^y-13$

বা, $x(1+e^y)=13(e^y-1)$

বা, $x=\frac{13(e^y-1)}{e^y+1}$

$y$ -এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore$ প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ $R_f=R$

নির্ণেয় ডোমেন $D_f\doteq (-13,13)$ এবং রেঞ্জ $R_f=R$.

দেওয়া আছে, $p={(k-\frac{3y}{2})}^n$

$k=2$ হলে, $p={(2-\frac{3y}{2})}^n$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

${(2-\frac{3y}{2})}^n=(\frac{n}{0})2^n{(-\frac{3y}{2})}^0$

$+(\frac{n}{1})2^{n-1}(-\frac{3y}{2})+(\frac{n}{2})2^{n-2}{\left(\frac{-3y}{2}\right)}^2$

$+(\frac{n}{3})2^{n-3}{\left(\frac{-3y}{2}\right)}^3+(\frac{n}{4})2^{n-4}{\left(\frac{-3y}{2}\right)}^4+\dots \dots$

$=2^n-n\cdot 2^{n-1}\frac{3y}{2}+\frac{n(n-1)}{2\cdot 1}{2}^{n-2}\frac{9y^2}{4}$

$-\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot 2\cdot 1}{2}^{n-3}\frac{27y^3}{8}$

$+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2}^{n-4}\frac{81y^4}{16}+\dots \dots \dots$

$\therefore$ ৩য় পদের সহগ $=\frac{n(n-1)}{2\cdot 1}{2}^{n-2}\cdot \frac{9}{4}$

৫ম পদের সহগ $=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2}^{n-4}\frac{81}{16}$

শর্তমতে, $\frac{n(n-1)}{2\cdot 1}{2}^{n-2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{32}{3}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2}^{n-4}\frac{81}{16}$

বা, $2^{n-2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{32}{3}\cdot \frac{(n-2)(n-3)}{4\cdot 3}{2}^{n-4}\cdot \frac{81}{16}$

বা, $\frac{2^{n-2}}{2^{n-4}}=\frac{32\cdot 4\cdot 81}{9\cdot 3\cdot 4.3\cdot 16}(n-2)(n-3)$

বা, $2^{n-2-n+4}=2(n-2)(n-3)$

বা, $2^2=2(n^2-5n+6)$

বা, $n^2-5n+6=\frac{4}{2}=2$

বা, $n^2-5n+4=0$

বা, $n^2-4n-n+4=0$

বা, $n(n-4)-1(n-4)=0$

বা, $(n-4)(n-1)=0$

হয়, $n-4=0$

বা, $n=4$

অথবা, n - $1=0$

বা, $n=1$ 

ইহা গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $n=1$ এর জন্য ৩য় ও ৫ম পদ বিদ্যমান নয়।

সুতরাং $n=4$

নির্ণেয় মান : $n=4$.