সৃজনশীলঃ ‘A=(2−x4)7 এবং B=(x2+1×2)6…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A={(2-\frac{x}{4})}^7$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

${(2-\frac{x}{4})}^7=(\frac{7}{0})2^7{(-\frac{x}{4})}^0+(\frac{7}{1})2^6{(-\frac{x}{4})}^1$

$+(\frac{7}{2})2^5{(-\frac{x}{4})}^2+\dots \dots$

$=128+7\cdot 64\cdot (-\frac{x}{4})+21\cdot 32\cdot \frac{x^2}{16}+\dots \dots$

$=128-112x+42x^2-\dots \dots$

এখানে, $2-\frac{x}{4}=1.995$

বা, $\frac{x}{4}=2-1.995$

বা, $\frac{x}{4}=0.005$

বা, $x=0.02$

$\therefore x=0.02$ বিস্তৃতিতে বসিয়ে পাই,

${(2-\frac{0.02}{4})}^7=128-112\times 0.02+42\times (0.02{)}^2+\dots \dots$

বা, $(1.995{)}^7=128-2.24+0.0168+\dots \dots \dots$

= 125.777 (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত) 

নির্ণেয় মান : 125.777 (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)।

দেওয়া আছে, $B={(\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2})}^6$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে,

$B={(\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2})}^6$

$={\left(\frac{x}{2}\right)}^6+(\frac{6}{1}){\left(\frac{x}{2}\right)}^{6-1}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^1+(\frac{6}{2}){\left(\frac{x}{2}\right)}^{6-2}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^2$

$+(\frac{6}{3}){\left(\frac{x}{2}\right)}^{6-3}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^3+\dots \dots$

$=\frac{x^6}{64}+6\cdot \frac{x^5}{2^5}\cdot \frac{1}{x^2}+\frac{6\cdot 5}{1\cdot 2}\cdot \frac{x^4}{2^4}\cdot \frac{1}{x^4}+\frac{6\cdot 5\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{x^3}{2^3}\cdot \frac{1}{x^6}+\dots \dots$

$=\frac{x^6}{64}+\frac{3}{16}{x}^3+\frac{15}{16}+\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{x^3}+\dots \dots$

$\therefore x$ বর্জিত পদ $=\frac{15}{16}$

এখানে, $n=6$ যা জোড় সংখ্যা

$\therefore$ মধ্যপদটি $=(\frac{n}{2}+1)$ তম পদ $=(\frac{6}{2}+1)=(3+1)=4$ তম পদ

R এর বিস্তৃতি হতে, 4 তম পদ $=\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{x^3}$

প্রশ্নমতে, $\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{x^3}=\frac{15}{16}$

বা, $\frac{1}{x^3}=\frac{15}{16}\times \frac{2}{5}=\frac{3}{8}$

বা, $3x^3=8$

$\therefore 3x^3-8=0$. (প্রমাণিত)