সৃজনশীলঃ ‘(i) 1+(1+y)−1+(1+y)−2+(1+y)−3+……. একটি…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত রাশি ${(x+\frac{k}{x})}^7$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

${(x+\frac{k}{x})}^7=(\frac{7}{0})x^7{\left(\frac{k}{x}\right)}^0+(\frac{7}{1})x^6{\left(\frac{k}{x}\right)}^1$

$+(\frac{7}{2})x^5{\left(\frac{k}{x}\right)}^2+(\frac{7}{3})x^4{\left(\frac{k}{x}\right)}^3+(\frac{7}{4})x^3{\left(\frac{k}{x}\right)}^4$

$+(\frac{7}{5})x^2{\left(\frac{k}{x}\right)}^5+(\frac{7}{6})x{\left(\frac{k}{x}\right)}^6+(\frac{7}{7})x^0{\left(\frac{k}{x}\right)}^7$

$=x^7+7\cdot x^6\cdot \frac{k}{x}+21\cdot x^5\cdot \frac{k^2}{x^2}+35\cdot x^4\cdot \frac{k^3}{x^3}$

$+35\cdot x^3\cdot \frac{k^4}{x^4}+21\cdot x^2\cdot \frac{k^5}{x^5}+7\cdot x\cdot \frac{k^6}{x^6}+\frac{k^7}{x^7}$

$\therefore k^5$ এর সহগ $=21\cdot x^2\cdot \frac{1}{x^5}=\frac{21}{x^3}$

শর্তমতে, $\frac{21}{x^3}=567$

বা, $x^3=\frac{21}{567}=\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3$

$\therefore x=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় মান : $x=\frac{1}{3}$

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারা : $1+(1+y{)}^{-1}+(1+y{)}^{-2}+(1+y{)}^{-3}+\dots \dots$

$=1+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{(1+y{)}^2}+\frac{1}{(1+y{)}^3}+\dots \dots .$

এখানে, ধারাটির ১ম পদ, $a=1$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{1+y}}{1}=\frac{1}{1+y}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $|r|<1$ হয়

বা, $-1<r<1$

অর্থাৎ- $1<\frac{1}{1+y}<1$

$\therefore -1<\frac{1}{1+y}$

বা, $\frac{1}{-1}>1+y$ [বিপরীতকরণ করে]

বা, $1+y<-1$

বা, $y<-1-1$

$\therefore y<-2$

এবং $\frac{1}{1+y}<1$

বা, $1<1+y$

বা, $1+y>1$

বা, $y>1-1$

$\therefore y>0.$

$\therefore$ শর্ত : $y<-2$ অথবা $y>0$.

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{1+y}}=\frac{1}{\frac{1+y-1}{1+y}}=\frac{1+y}{y}$

নির্ণেয় শর্ত : $y<-2$ অথবা $y>0$ এবং সমষ্টি $=\frac{1+y}{y}$