সৃজনশীলঃ ‘A=(4x+1)−1+(4x+1)−2+(4x+1)−3+……B=(k−x4)7.…’ ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বি. দ্র: A এর পরিবর্তে B হবে]

‘খ’ হতে প্রাপ্ত, $A={(k-\frac{x}{4})}^7$

$=k^7-\frac{7}{4}{k}^{6}x+\frac{21}{16}{k}^5{x}^2-\frac{35}{64}{k}^4{x}^3+\frac{35}{256}{k}^3{x}^4-$

প্রশ্নমতে,

$k^7-\frac{7}{4}{k}^{6}x+\frac{21}{16}{k}^5{x}^2-\frac{35}{64}{k}^4{x}^3=P-112x+q{x}^2-r{x}^3$

উভয়পক্ষ হতে x , ধ্রুব পদ, $x^2$ ও $x^3$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$-\frac{7}{4}{k}^6=-112$

বা, $-7k^6=-112\times 4$

বা, $7k^6=448$

বা, $k^6=64=(\pm 2{)}^6$

$\therefore k=\pm 2$

এবং, $p=k^7$

বা, $p=(\pm 2{)}^7[\because k=\pm 2]$

$\therefore p=128,-128$

আবার, $q=\frac{21}{16}{k}^5$

$=\frac{21}{16}(\pm 2{)}^5[\because k=\pm 2]$

$=\frac{21}{16}\times (\pm 32)=21\times (\pm 2)=42,-42$

এবং, $-r=-\frac{35}{64}{k}^4$

বা, $r=\frac{35}{64}(\pm 2{)}^4[\because k=\pm 2]$

বা, $r=\frac{35}{64}\times 16=\frac{35}{4}$

নির্ণেয় মান, $k=2,p=128,q=42,r=\frac{35}{4}$

অথবা, $k=-2,p=-128,q=-42,r=\frac{35}{4}$.

[বি. দ্র: B এর পরিবর্তে A হবে]

দেওয়া আছে, $B=\frac{1}{1+4x}+\frac{1}{(1+4x{)}^2}+\frac{1}{(1+4x{)}^3}+\dots .$.

অসীম গুণোত্তর ধারাটির, ১ম পদ, $a=\frac{1}{1+4x}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{(1+4x{)}^2}÷\frac{1}{1+4x}$

$=\frac{1}{(1+4x{)}^2}\times (1+4x)-\frac{1}{1+4x}$

$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমস্টি থাকবে যদি $|r|<1$ হয়।

অর্থাৎ, $\left|\frac{1}{1+4x}\right|<1$

$\therefore -1<\frac{1}{1+4x}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{1+4x}$

বা, $\frac{-1}{1}>1+4x$

বা, $-1>1+4x$

বা, $-1-1>4x$

বা, $-2>4x$

বা, $\frac{-2}{4}>x$ বা, $-\frac{1}{2}>x\therefore x<-\frac{1}{2}$

অথবা, $\frac{1}{1+4x}<1$,

বা, $1+4x>1$

বা, $4x>1-1$

বা, $4x>0$

$\therefore x>0$

$\therefore$ শর্ত : $x<-\frac{1}{2}$ অথবা $x>0$.

$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমস্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{\frac{1}{1+4x}}{1-\frac{1}{1+4x}}=\frac{\frac{1}{1+4x}}{\frac{1+4x-1}{1+4x}}=\frac{1}{1+4x}\times \frac{1+4x}{4x}=\frac{1}{4x}$

নির্ণেয় শর্ত : $x<-\frac{1}{2}$

অথবা $x>0$ এর অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{4x}$.