সৃজনশীলঃ ‘A=(1+x5)7 এবংএকটি গুণোত্তর…’ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল ২০২৬

$A = {(1 + \frac{x}{5})}^{7}$ এবং

একটি গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ, $U_{n} = (3 x - 7)^{2 - n}$ যেখানে, $n \in N$ .

উত্তর:

দেওয়া আছে, $(\frac{n}{2}) = (\frac{n}{3})$
বা, $\frac{n (n - 1)}{1 \cdot 2} = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}$ বা, $1 = \frac{n - 2}{3}$
বা, $n - 2 = 3$

$∴ n = 3 + 2 = 5$

নির্ণেয় মান : $n = 5$ .

উত্তর:

দেওয়া আছে, $B = {(1 + \frac{x}{5})}^{7}$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে,

$\begin{matrix} (5 - x) B = (5 - x) {(1 + \frac{x}{5})}^{7} \\ = (5 - x) [(\frac{1}{0}) {(\frac{x}{5})}^{0} + (\frac{7}{1}) {(\frac{x}{5})}^{1} + (\frac{7}{2}) {(\frac{x}{5})}^{2} + (\frac{7}{3}) {(\frac{x}{5})}^{3} + (\frac{7}{4}) {(\frac{x}{5})}^{4} + \dots] \\ = (5 - x) [1 + \frac{7}{1} \cdot \frac{x}{5} + \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} \cdot \frac{x^{2}}{25} + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{x^{3}}{125} + \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{x^{4}}{625} + \dots . .] \\ = (5 - x) (1 + \frac{7}{5} x + \frac{21}{25} x^{2} + \frac{7}{25} x^{3} + \frac{7}{125} x^{4} + \dots \dots . .) \\ = (5 + 7 x + \frac{21}{5} x^{2} + \frac{7}{5} x^{3} + \frac{7}{25} x^{4} + \dots . .) + (- x - \frac{7}{5} x^{2} - \frac{21}{25} x^{3} - \frac{7}{25} x^{4} - \dots . .) \\ = 5 + 6 x + \frac{14}{5} x^{2} + \frac{14}{25} x^{3} + 0 \cdot x^{4} + \dots \dots \dots . \end{matrix}$

এখানে, $5 - x = 4.9$
বা, $x = 5 - 4.9 = 0.1$
এখন উক্ত বিস্তৃতিতে $x = 0.1$ বসিয়ে পাই,

$\begin{matrix} (5 - 0.1) \times {(1 + \frac{0.1}{5})}^{7} = 5 + 6 \times (0.1) & + \frac{14}{5} \times (0.1)^{2} \\ + \frac{14}{25} \times (0.1)^{3} + 0 \times (0.1)^{4} + \dots . \end{matrix}$

বা, $\begin{matrix} 4.9 \times (1.02)^{7} & = 5 + 0.6 + 0.028 + 0.00056 + 0 + \dots \\ = 5.62856 \end{matrix}$

নির্ণেয় মান 5.62856.

[বি. দ্র: B এর পরিবর্তে A হবে]

উত্তর:

দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির $n$ তমপদ, $U_{n} = (3 x - 7)^{2 - n}; n \in N$
$n = 1$ হলে, ১ম পদ, $U_{1} = (3 x - 7)^{2 - 1} = (3 x - 7)^{1} = 3 x - 7$
$n = 2$ হলে, ২য় পদ, $U_{2} = (3 x - 7)^{2 - 2} = (3 x - 7)^{0} = 1$
$n = 3$ হলে, ৩য় পদ, $U_{3} = (3 x - 7)^{2 - 3} = (3 x - 7)^{- 1} = \frac{1}{3 x - 7}$
$n = 4$ হলে, ৪র্থ পদ, $U_{4} = (3 x - 7)^{2 - 4} = (3 x - 7)^{- 2} = \frac{1}{(3 x - 7)^{2}}$
অতএব, গুণোত্তর ধারাটি : $(3 x - 7) + 1 + \frac{1}{3 x - 7} + \frac{1}{(3 x - 7)^{2}} +$ , এখানে, গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, $a = 3 x - 7$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{3 x - 7}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $| r | < 1$ হয়।

অর্থাৎ, $- 1 < r < 1$ বা, $- 1 < \frac{1}{3 x - 7} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{3 x - 7}$
বা, $- 1 > 3 x - 7$ [বিপরীতকরণ করে]
বা, $- 1 + 7 > 3 x$
বা, $6 > 3 x$
বা, $\frac{6}{3} > x$
বা, $2 > x$
$∴ x < 2$

আবার, $\frac{1}{3 x - 7} < 1$
বা, $3 x - 7 > 1$ [বিপরীতকরণ করে]
বা, $3 x > 1 + 7$
বা, $3 x > 8$

$∴ x > \frac{8}{3}$

$∴ x < 2$ অথবা $x > \frac{8}{3}$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।
∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

$\begin{matrix} S_{\infty} & = \frac{a}{1 - r} \\ = \frac{3 x - 7}{1 - \frac{1}{3 x - 7}} = \frac{3 x - 7}{\frac{3 x - 7 - 1}{3 x - 7}} \\ = \frac{3 x - 7}{\frac{3 x - 8}{3 x - 7}} = \frac{3 x - 7}{1} \times \frac{3 x - 7}{3 x - 8} = \frac{(3 x - 7)^{2}}{3 x - 8} \end{matrix}$

নির্ণেয় শর্ত : $x < 2$ অথবা $x > \frac{8}{3}$ এবং সমষ্টি $\frac{(3 x - 7)^{2}}{3 x - 8}$ .

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘A=(1+x5)7 এবংএকটি গুণোত্তর…’ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘A=(1+x5)7 এবংএকটি গুণোত্তর…’ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর