সৃজনশীলঃ ‘(i) P(i1,5),Q(−2,5),R(−5,−4) এবং…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) $P (i 1, 5), Q (- 2, 5), R (- 5, - 4)$ এবং $S (x, y)$ চারটি বিন্দু।

(ii) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ : $y = 3 x - 10, 2 x - y = 4, 7 x - y = 14$

উত্তর:

এখানে, $A (p, 0), B (0, q)$ এবং $C (1, 1)$ প্রদত্ত বিন্দুত্রয়।

A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে, AB ও BC রেখার ঢাল পরস্পর সমান হবে ।

এখন, AB রেখার ঢাল $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{q - 0}{0 - p} = - \frac{q}{p}$

এবং BC রেখার ঢাল $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{1 - q}{1 - 0} = 1 - q$

শর্তমতে, AB রেখার ঢাল = BC রেখার ঢাল

বা, $- \frac{q}{p} = 1 - q$

বা, $p - p q = - q$

বা, $p + q = p q$

বা, $\frac{q + q}{p q} = 1$ .

বা, $\frac{p}{p q} + \frac{q}{p q} = 1$

বা, $\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1$

$∴ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$

অতএব, $A, B$ ও C সমরেখ হবে যদি $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ হয়।

উত্তর:

এখানে, $P (11, 5), Q (- 2, 5), R (- 5, - 4)$ এবং $S (x, y)$ হলো PQRS সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু।

PQRS সামান্তরিকের P ও Q বিন্দুর কোটি একই হওয়ায় R এর স্থানাঙ্কের কোটি এবং ৪ এর স্থানাঙ্কের কোটিও সমান হবে।

অর্থাৎ S এর কোটি, $y = - 4$

তাহলে, S এর স্থানাঙ্ক $(x, - 4)$

তাহলে, S এর স্থানাঙ্ক $(x, - 4)$ .

এখন, PQ বাহুর দৈর্ঘ্য $= 13$ একক [খ হতে প্রাপ্ত]

SR বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{{x - (- 5)}^{2} + {- 4 - (- 4)}^{2}}$ একক

$= \sqrt{(x + 5)^{2} + 0}$ একক $= \sqrt{(x + 5)^{2}}$ একক $= (x + 5)$ একক

PQRS সামান্তরিক হওয়ায়, ইহার বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান। অর্থাৎ, $PQ = SR$ .

বা, $13 = x + 5$

বা, $x = 13 - 5$

$∴ x = 8$

সুতরাং S এর স্থানাঙ্ক $(8, - 4)$ .

উত্তর:

প্রদত্ত তিনটি সরলরেখার সমীকরণ,

$y = 3 x - 10$ ....... (i)

$2 x - y = 4$ ....... (ii)

$7 x - y = 14$ ....... (iii)

ধরি, (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদ বিন্দু A

(i) ও (ii) হতে পাই,

$2 x - (3 x - 10) = 4$

বা, $2 x - 3 x + 10 = 4$

বা, $- x = 4 - 10$

$∴ x = 6$

(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

$y = 3 \times 6 - 10$

$∴ y = 8$

∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(6, 8)$

আবার, ধরি, (ii) ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দু B

(ii) ও (iii) নং হতে পাই,

$2 x - y = 4$

$7 x - y = 14$

$(-) (+) (-)$

______________________

(বিয়োগ করে) $- 5 x = - 10$

$∴ x = 2$

(ii) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

$2 \times 2 - y = 4$

বা, $4 - y = 4$

বা, $- y = 4 - 4$

বা, - $y = 0$

$∴ y = 0$

$∴$ B বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 0)$

আবার, ধরি, (i) ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দু C

(i) ও (iii) নং হতে পাই,

$7 x - (3 x - 10) = 14$

বা, $7 x - 3 x + 10 = 14$

বা, $4 x = 14 - 10$

বা, $4 x = 4$

$∴ x = 1$

(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

$y = 3 \times 1 - 10$

$∴ y = - 7$

$∴$ C বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1, - 7)$

এখন, $xy$ সমতলে রেখা তিনটি দ্বারা ABC ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো।

স্কেল : ক্ষুদ্রতম বর্গের 2 ঘর = 1 একক

A, B, C বিন্দু তিনটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে $△ ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} | \begin{matrix} 6 & 2 & 1 & 6 \\ 8 & 0 & - 7 & 8 \end{matrix} |$ বর্গ একক

$= \frac{1}{2} (0 - 14 + 8 - 16 - 0 + 42)$ বর্গ একক

$= \frac{1}{2} \times 20$ বর্গ একক $= 10$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 10 বর্গ একক।

A. Nayan

14 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(i) P(i1,5),Q(−2,5),R(−5,−4) এবং…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

14 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(i) P(i1,5),Q(−2,5),R(−5,−4) এবং…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর