সৃজনশীলঃ ‘(i) 1(3x−4)+1(3x−4)2+1(3x−4)3+…… একটি…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) $\frac{1}{(3 x - 4)} + \frac{1}{(3 x - 4)^{2}} + \frac{1}{(3 x - 4)^{3}} + \dots . .$ . একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা।

(ii) ${(x - \frac{k}{x^{2}})}^{8}$ একটি দ্বিপদী রাশি।

উত্তর:

$\begin{matrix} 2.0 \dot{5} & = 2.05555 \dots \dots . \\ = 2 + (0.05 + 0.005 + 0.0005 + \dots \dots .) \end{matrix}$

এখানে, বন্ধনীর ভিতরের ধারাটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার ১ম পদ, $a = 0.05$ এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{0.005}{0.05} = 0.1 < 1$

এখন,

$2.0 \dot{5} = 2 + \frac{a}{1 - r} = 2 + \frac{0.05}{1 - 0.1} = 2 + \frac{0.05}{0.9}$

$= 2 + \frac{1}{18} = \frac{36 + 1}{18} = \frac{37}{18}$

নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{37}{18}$

উত্তর:

প্রদত্ত ধারা : $\frac{1}{3 x - 4} + \frac{1}{(3 x - 4)^{2}} + \frac{1}{(3 x - 4)^{3}} + \dots \dots$ .

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{3 x - 4}$

ধারাটির সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{(3 x - 4)^{2}}}{\frac{1}{3 x - 4}} = \frac{1}{(3 x - 4)^{2}} \times (3 x - 4) = \frac{1}{3 x - 4}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $| r | < 1$ হয়

অর্থাৎ, $- 1 < r < 1$

বা, $- 1 < \frac{1}{3 x - 4} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{3 x - 4}$

বা, $- 1 > 3 x - 4$

বা, $3 x - 4 < - 1$

বা, $3 x < - 1 + 4$

বা, $3 x < 3$

বা, $x < \frac{3}{3}$

বা, $x < 1$

আবার, $\frac{1}{3 x - 4} < 1$

বা, $3 x - 4 > 1$

বা, $3 x > 1 + 4$

বা, $3 x > 5$

বা, $x > \frac{5}{3}$

অর্থাৎ, $x < 1$ অথবা $x > \frac{5}{3}$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$∴$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

$\begin{matrix} S_{\infty} & = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{3 x - 4}}{1 - \frac{1}{3 x - 4}} = \frac{\frac{1}{3 x - 4}}{\frac{3 x - 4 - 1}{3 x - 4}} = \frac{\frac{1}{3 x - 4}}{\frac{3 x - 5}{3 x - 4}} \\ = \frac{1}{3 x - 4} \times \frac{3 x - 4}{3 x - 5} = \frac{1}{3 x - 5} \end{matrix}$

নির্ণেয় শর্ত: $x < 1$ অথবা $x > \frac{5}{3}$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{3 x - 5}$

উত্তর:

প্রদত্ত দ্বিপদী রাশি $= {(x - \frac{k}{x^{2}})}^{8}$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$\begin{matrix} {(x - \frac{k}{x^{2}})}^{8} & = x^{8} +^{8} C_{1} \cdot x^{8 - 1} (- \frac{k}{x^{2}}) +^{8} C_{2} \cdot x^{8 - 2} {(- \frac{k}{x^{2}})}^{2} \\ +^{8} C_{3} \cdot x^{8 - 3} {(- \frac{k}{x^{2}})}^{3} + \dots \\ = x^{8} + 8 \cdot x^{7} (- \frac{k}{x^{2}}) + \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \cdot x^{6} \cdot - \frac{k^{2}}{x^{4}} + \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} x^{5} (- \frac{k^{3}}{x^{6}}) + \dots \\ = x^{8} - 8 k x^{5} + 28 k^{2} x^{2} - 56 \frac{k^{3}}{x} + \dots \dots \end{matrix}$

$∴ x^{2}$ এর সহগ $28 k^{2}$

শর্তমতে, $28 k^{2} = 252$

বা, $k^{2} = \frac{252}{28} = 9 = (\pm 3)^{2}$

$∴ k = \pm 3$

নির্ণেয় মান : $k = \pm 3$ .

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(i) 1(3x−4)+1(3x−4)2+1(3x−4)3+…… একটি…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(i) 1(3x−4)+1(3x−4)2+1(3x−4)3+…… একটি…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর