সৃজনশীলঃ ‘(i) 1(3x−4)+1(3x−4)2+1(3x−4)3+…… একটি…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত ধারা : $\frac{1}{3x-4}+\frac{1}{(3x-4{)}^2}+\frac{1}{(3x-4{)}^3}+\dots \dots$.

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a=\frac{1}{3x-4}$

ধারাটির সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{(3x-4{)}^2}}{\frac{1}{3x-4}}=\frac{1}{(3x-4{)}^2}\times (3x-4)=\frac{1}{3x-4}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $|r|<1$ হয়

অর্থাৎ, $-1<r<1$

বা, $-1<\frac{1}{3x-4}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{3x-4}$

বা, $-1>3x-4$

বা, $3x-4<-1$

বা, $3x<-1+4$

বা, $3x<3$

বা, $x<\frac{3}{3}$

বা, $x<1$

আবার, $\frac{1}{3x-4}<1$

বা, $3x-4>1$

বা, $3x>1+4$

বা, $3x>5$

বা, $x>\frac{5}{3}$

অর্থাৎ, $x<1$ অথবা $x>\frac{5}{3}$ হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

$\therefore$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,

$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }& =\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{3x-4}}{1-\frac{1}{3x-4}}=\frac{\frac{1}{3x-4}}{\frac{3x-4-1}{3x-4}}=\frac{\frac{1}{3x-4}}{\frac{3x-5}{3x-4}}\\ & =\frac{1}{3x-4}\times \frac{3x-4}{3x-5}=\frac{1}{3x-5}\end{array}$

নির্ণেয় শর্ত: $x<1$ অথবা $x>\frac{5}{3}$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{3x-5}$

প্রদত্ত দ্বিপদী রাশি $={(x-\frac{k}{x^2})}^8$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$\begin{array}{cc}{(x-\frac{k}{x^2})}^8& =x^8+{}^8{C}_1\cdot x^{8-1}(-\frac{k}{x^2})+{}^8{C}_2\cdot x^{8-2}{(-\frac{k}{x^2})}^2\\ & +{}^8{C}_3\cdot x^{8-3}{(-\frac{k}{x^2})}^3+\dots \\ & =x^8+8\cdot x^7(-\frac{k}{x^2})+\frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}\cdot x^6\cdot -\frac{k^2}{x^4}+\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}{x}^5(-\frac{k^3}{x^6})+\dots \\ & =x^8-8k{x}^5+28k^2{x}^2-56\frac{k^3}{x}+\dots \dots \end{array}$

$\therefore x^2$ এর সহগ $28k^2$

শর্তমতে, $28k^2=252$

বা, $k^2=\frac{252}{28}=9=(\pm 3{)}^2$

$\therefore k=\pm 3$

নির্ণেয় মান : $k=\pm 3$.